Considere o número fn=1raiz5 cdot (1+raiz5)^n2-1raiz5 cdot (1-raiz5)^n2, em que n é um número natural positivo. Decida se f2 é racional ou irracional.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a expressão do número , onde é um número natural positivo. A pergunta quer saber se é um número racional ou irracional. Para resolver, vamos precisar calcular e analisar se o resultado é racional ou irracional.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir f2 = 1raiz5 cdot (1+raiz5)^22 - 1raiz5 cdot (1-raiz5)^22 na expressão de :

Passo 3

Agora, vamos calcular os termos (1+raiz5)^2 = 1^2 + 2 cdot 1 cdot raiz5 + (raiz5)^2 = 1 + 2raiz5 + 5 = 6 + 2raiz5 e (1-raiz5)^2 = 1^2 - 2 cdot 1 cdot raiz5 + (raiz5)^2 = 1 - 2raiz5 + 5 = 6 - 2raiz5 separadamente.
Primeiro, calculamos :
Em seguida, calculamos :

Passo 4

Substituímos os resultados de f2 = 1raiz5 cdot 6 + 2raiz52 - 1raiz5 cdot 6 - 2raiz52 e f2 = 1raiz5 cdot (3 + raiz5) - 1raiz5 cdot (3 - raiz5) na expressão de :
Simplificamos as frações:

Passo 5

Agora, distribuímos o f2 = 3raiz5 + raiz5raiz5 - ( 3raiz5 - raiz5raiz5 ) em cada termo:
f2 = 3raiz5 + 1 - 3raiz5 + 1
Sabemos que f2 = 1 + 1 = 2 . Então:
Os termos se cancelam:

Resposta

O valor de é , que é um número racional.

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