Considere o número , em que é um número natural positivo. Decida se é racional ou irracional.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a expressão do número , onde é um número natural positivo. A pergunta quer saber se é um número racional ou irracional. Para resolver, vamos precisar calcular e analisar se o resultado é racional ou irracional.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir na expressão de :

Passo 3

Agora, vamos calcular os termos e separadamente.
Primeiro, calculamos :
Em seguida, calculamos :

Passo 4

Substituímos os resultados de e na expressão de :
Simplificamos as frações:

Passo 5

Agora, distribuímos o em cada termo:
Sabemos que . Então:
Os termos se cancelam:

Resposta

O valor de é , que é um número racional.

Exercícios relacionados

Este exercício servirá apenas para verificar o domínio do estudante com relação às operações com frações e radicais. Para tal, efetue as operações indicadas nos itens abaixo:
É possível provar que se não e um quadrado perfeito, então é um número irracional. Use este resultado para Justificar que é irracional.
Este exercício servirá apenas para verificar o domínio do estudante com relação às operações com frações e radicais. Para tal, efetue as operações indicadas nos itens abaixo:
Este exercício servirá apenas para verificar o domínio do estudante com relação às operações com frações e radicais. Para tal, efetue as operações indicadas nos itens abaixo: (Vale pergunta análoga à anterior)