É possível provar que se n in N não e um quadrado perfeito, então raizn é um número irracional. Use este resultado para Justificar que 1+raiz5 é irracional.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que provar que é um número irracional. Para isso, vamos usar um resultado que diz que se for um número natural que não é um quadrado perfeito, então é irracional. Aqui, vamos precisar entender o que é um número irracional e como a raiz quadrada de um número não quadrado perfeito se comporta.

Passo 2

Vamos começar verificando se é um quadrado perfeito. Um quadrado perfeito é um número que pode ser escrito como o quadrado de algum número inteiro. Por exemplo, é um quadrado perfeito porque , e também é porque . Mas não é um quadrado perfeito porque não há nenhum número inteiro que, ao ser multiplicado por si mesmo, dê exatamente .

Passo 3

Como não é um quadrado perfeito, de acordo com o resultado que mencionamos, deve ser um número irracional. Um número irracional é aquele que não pode ser expresso como uma fração , onde e são números inteiros. Exemplos de números irracionais são e .

Passo 4

Agora, queremos provar que também é irracional. Vamos supor, para fins de contradição, que seja um número racional. Isso significa que ele pode ser escrito como uma fração , onde e são inteiros.

Passo 5

Se raiz5 = cd - 1 = c - dd , então podemos isolar :
Isso implicaria que é uma fração de dois inteiros, ou seja, um número racional.

Passo 6

No entanto, isso entra em conflito com o que já sabemos: é irracional. Portanto, nossa suposição inicial de que é racional deve estar errada.

Resposta

Assim, concluímos que é um número irracional.

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