É possível provar que se
não e um quadrado perfeito, então
é um número irracional. Use este resultado para Justificar que
é irracional.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que provar que
é um número irracional. Para isso, vamos usar um resultado que diz que se
for um número natural que não é um quadrado perfeito, então
é irracional. Aqui, vamos precisar entender o que é um número irracional e como a raiz quadrada de um número não quadrado perfeito se comporta.
Passo 2
Vamos começar verificando se
é um quadrado perfeito. Um quadrado perfeito é um número que pode ser escrito como o quadrado de algum número inteiro. Por exemplo,
é um quadrado perfeito porque
, e
também é porque
. Mas
não é um quadrado perfeito porque não há nenhum número inteiro que, ao ser multiplicado por si mesmo, dê exatamente
.
Passo 3
Como
não é um quadrado perfeito, de acordo com o resultado que mencionamos,
deve ser um número irracional. Um número irracional é aquele que não pode ser expresso como uma fração
, onde
e
são números inteiros. Exemplos de números irracionais são
e
.
Passo 4
Agora, queremos provar que
também é irracional. Vamos supor, para fins de contradição, que
seja um número racional. Isso significa que ele pode ser escrito como uma fração
, onde
e
são inteiros.
Passo 5
Se
, então podemos isolar
:
Isso implicaria que
é uma fração de dois inteiros, ou seja, um número racional.
Passo 6
No entanto, isso entra em conflito com o que já sabemos:
é irracional. Portanto, nossa suposição inicial de que
é racional deve estar errada.
Resposta
Assim, concluímos que
é um número irracional.
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É possível provar que se
não e um quadrado perfeito, então
é um número irracional. Use este resultado para exibir pelo menos 10 números irracionais.
Responda se o número dado em cada item é racional ou irracional, justificando suas respostas. Quando for racional, determine a fração geratriz.
Observação: no item (d) identifique os próximos algarismos não escritos e, mais geralmente, identifique o processo de obtenção de todos os algarismos. Em seguida responda se é um número racional ou irracional.
Observação: no item (d) identifique os próximos algarismos não escritos e, mais geralmente, identifique o processo de obtenção de todos os algarismos. Em seguida responda se é um número racional ou irracional.
Este exercício servirá apenas para verificar o domínio do estudante com relação às operações com frações e radicais. Para tal, efetue as operações indicadas nos itens abaixo:
Considere o número
, em que
é um número natural positivo. Decida se
é racional ou irracional.