Considere os números reais alpha=2,5, beta=1,75 e gamma=0,375. Considere também o sistema de pontos flutuantes F cuja base é 2 , cujo comprimento da mantissa é 3 e cujos expoentes são números inteiros no intervalo entre -4 e 5.
(d) Calcule (alpha+beta) cdot gamma e (alpha cdot gamma)+(beta cdot gamma) usando a aritmética de pontos flutuantes de F.

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos um problema de aritmética de pontos flutuantes. Os números que estamos trabalhando são α = 2,5, β = 1,75 e γ = 0,375. Estamos usando um sistema de pontos flutuantes com base 2, mantissa de 3 dígitos e expoentes que vão de -4 a 5. Precisamos calcular duas expressões: (alpha + beta) cdot gamma e (alpha cdot gamma) + (beta cdot gamma) usando esse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como representar esses números no nosso sistema de pontos flutuantes. A base é 2, e a mantissa tem 3 dígitos, o que significa que vamos arredondar as representações binárias para 3 bits na mantissa. Também temos que os expoentes podem variar de -4 a 5.

Passo 3

Vamos converter α = 2,5 para a forma de ponto flutuante. Em binário, 2,5 é 10,1. Normalizamos isso para ter um único dígito antes da vírgula: 1,01 times 2^1. Como a mantissa tem 3 bits, mantemos 1,01 e ignoramos o restante. Portanto, a representação de α é 1,01 times 2^1.

Passo 4

Agora, vamos converter β = 1,75. Em binário, 1,75 é 1,11. Normalizando: 1,11 times 2^0. A mantissa já tem 3 bits, então a representação de β é 1,11 times 2^0.

Passo 5

Vamos converter γ = 0,375. Em binário, 0,375 é 0,011. Para normalizar, movemos a vírgula para a direita duas posições: 1,10 times 2^-2. Arredondando para 3 bits na mantissa, fica 1,10 times 2^-2.

Passo 6

Agora, vamos calcular (alpha + beta) cdot gamma. Primeiro, precisamos somar α e β no sistema de pontos flutuantes.

Passo 7

Somando α e β: 1,01 times 2^1 + 1,11 times 2^0. Para somar, precisamos que os expoentes sejam iguais. Vamos ajustar β para a base de α:
1,11 times 2^0 = 0,111 times 2^1.
Agora, somamos as mantissas: 1,01 + 0,111 = 1,101.
Então, a soma é 1,101 times 2^1. Arredondando para 3 bits na mantissa, fica 1,10 times 2^1.

Passo 8

Agora, multiplicamos o resultado pela γ: 1,10 times 2^1 times 1,10 times 2^-2. Multiplicamos as mantissas: 1,10 times 1,10 = 11,00 (em binário). Normalizando: 1,10 times 2^1.
Multiplicamos os expoentes: 2^1 times 2^-2 = 2^-1.
Então, o resultado é 1,10 times 2^-1. Arredondando, permanece 1,10 times 2^-1.

Passo 9

Agora, vamos calcular (alpha cdot gamma) + (beta cdot gamma). Primeiro, multiplicamos α por γ e β por γ separadamente.

Passo 10

Multiplicando α por γ: 1,01 times 2^1 times 1,10 times 2^-2. Mantissas: 1,01 times 1,10 = 1,111 (arredondando para 3 bits: 1,11). Expoentes: 2^1 times 2^-2 = 2^-1. Então, α·γ = 1,11 times 2^-1.
Multiplicando β por γ: 1,11 times 2^0 times 1,10 times 2^-2. Mantissas: 1,11 times 1,10 = 10,101 (normalizando: 1,01 times 2^1). Expoentes: 2^0 times 2^-2 = 2^-2. Então, β·γ = 1,01 times 2^-1.

Passo 11

Agora, somamos α·γ e β·γ: 1,11 times 2^-1 + 1,01 times 2^-1. Como os expoentes são iguais, somamos as mantissas: 1,11 + 1,01 = 10,00 (arredondando para 3 bits: 1,00 times 2^1).
Então, a soma é 1,00 times 2^0.

Resposta

(alpha + beta) cdot gamma = 1,10 times 2^-1 e (alpha cdot gamma) + (beta cdot gamma) = 1,00 times 2^0.

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