Encontre um número não-zero tal que:
© é representável nos dois sistemas de pontos flutuantes acima, no primeiro de maneira exata e no segundo de maneira inexata.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem que encontrar um número real que não seja zero e que possa ser representado de duas maneiras diferentes em sistemas de ponto flutuante. No primeiro sistema, precisa ser representado exatamente, ou seja, sem nenhum erro. No segundo sistema, deve ser representado de forma inexata, ou seja, com algum erro na representação. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como os números são armazenados em sistemas de ponto flutuante e como funcionam as representações exatas e inexatas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um sistema de ponto flutuante. Basicamente, é uma forma de representar números reais na computação usando uma mantissa (a parte significativa) e um expoente. Um número é representável exatamente em um sistema de ponto flutuante se a mantissa consegue capturar todos os dígitos significativos do número sem perder precisão.

Passo 3

Agora, para ter um número que seja representado exatamente em um sistema e de forma inexacta em outro, a gente precisa escolher dois sistemas com diferentes capacidades de precisão. Por exemplo, vamos pensar em dois sistemas:
  1. Sistema A: Usa uma base de 2 e tem uma mantissa com 3 bits.
  2. Sistema B: Usa uma base de 2 e tem uma mantissa com 2 bits.

Passo 4

Vamos escolher como uma fração que pode ser representada exatamente com 3 bits na mantissa, mas que não pode ser representada exatamente com apenas 2 bits. Por exemplo, vamos escolher .

Passo 5

Vamos verificar:
  • No Sistema A (3 bits na mantissa):
    • Aqui, a mantissa é 1 e o expoente é -1. Dá para representar exatamente porque usamos 3 bits na mantissa.
  • No Sistema B (2 bits na mantissa):
    • Tentando representar
    • A mantissa com 2 bits seria aproximadamente 1.0, mas a precisão é menor, podendo introduzir um pequeno erro dependendo da implementação.

Passo 6

Então, nesse exemplo, é representável exatamente no Sistema A com 3 bits na mantissa e de forma inexacta no Sistema B com 2 bits na mantissa.

Resposta

Um número como satisfaz as condições: é representável exatamente em um sistema com mantissa de 3 bits e de forma inexacta em outro com mantissa de 2 bits.

Exercícios relacionados

Considere os números reais e . Considere também o sistema de pontos flutuantes cuja base é 2 , cujo comprimento da mantissa é 3 e cujos expoentes são números inteiros no intervalo entre -4 e 5.
(d) Calcule e usando a aritmética de pontos flutuantes de .
Considere um sistema de ponto flutuante com base 2, comprimento de mantissas 4 , e expoentes entre -18 e 18.
(b) O seu RA é representável nesse sistema de ponto flutuante? Se sim, essa representação é exata ou inexata?
Considere os números reais e . Considere também o sistema de pontos flutuantes cuja base é 2 , cujo comprimento da mantissa é 3 e cujos expoentes são números inteiros no intervalo entre -4 e 5.
© Calcule o valor de , reescreva esse valor no sistema de pontos flutuantes e compare com os resultados do item (b).
Suponha que, ao medir um recipiente cilíndrico com uma fita métrica milimetrada, obtêm-se as seguintes medidas:
Altura e Diâmetro da base .
Fazendo o cálculo do volume com o valor de aproximado por 3,14 e supondo que o erro absoluto máximo cometido nessa aproximação é menor que 0,01 , calcule o erro máximo que temos ao calcularmos o volume do recipiente.