Encontre um número alpha in R não-zero tal que:
© alpha é representável nos dois sistemas de pontos flutuantes acima, no primeiro de maneira exata e no segundo de maneira inexata.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem que encontrar um número real alpha que não seja zero e que possa ser representado de duas maneiras diferentes em sistemas de ponto flutuante. No primeiro sistema, alpha precisa ser representado exatamente, ou seja, sem nenhum erro. No segundo sistema, alpha deve ser representado de forma inexata, ou seja, com algum erro na representação. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como os números são armazenados em sistemas de ponto flutuante e como funcionam as representações exatas e inexatas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um sistema de ponto flutuante. Basicamente, é uma forma de representar números reais na computação usando uma mantissa (a parte significativa) e um expoente. Um número é representável exatamente em um sistema de ponto flutuante se a mantissa consegue capturar todos os dígitos significativos do número sem perder precisão.

Passo 3

Agora, para ter um número que seja representado exatamente em um sistema e de forma inexacta em outro, a gente precisa escolher dois sistemas com diferentes capacidades de precisão. Por exemplo, vamos pensar em dois sistemas:
  1. Sistema A: Usa uma base de 2 e tem uma mantissa com 3 bits.
  2. Sistema B: Usa uma base de 2 e tem uma mantissa com 2 bits.

Passo 4

Vamos escolher alpha como uma fração que pode ser representada exatamente com 3 bits na mantissa, mas que não pode ser representada exatamente com apenas 2 bits. Por exemplo, vamos escolher alpha = 0,5.

Passo 5

Vamos verificar:
  • No Sistema A (3 bits na mantissa):
    • alpha = 0,5 = 1 times 2^-1
    • Aqui, a mantissa é 1 e o expoente é -1. Dá para representar exatamente porque usamos 3 bits na mantissa.
  • No Sistema B (2 bits na mantissa):
    • Tentando representar alpha = 0,5 = 1 times 2^-1
    • A mantissa com 2 bits seria aproximadamente 1.0, mas a precisão é menor, podendo introduzir um pequeno erro dependendo da implementação.

Passo 6

Então, nesse exemplo, alpha = 0,5 é representável exatamente no Sistema A com 3 bits na mantissa e de forma inexacta no Sistema B com 2 bits na mantissa.

Resposta

Um número como alpha = 0,5 satisfaz as condições: é representável exatamente em um sistema com mantissa de 3 bits e de forma inexacta em outro com mantissa de 2 bits.

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