Considere um sistema de ponto flutuante com base 2, comprimento de mantissas 4 , e expoentes entre -18 e 18.
(b) O seu RA é representável nesse sistema de ponto flutuante? Se sim, essa representação é exata ou inexata?
(b) O seu RA é representável nesse sistema de ponto flutuante? Se sim, essa representação é exata ou inexata?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de ponto flutuante com base 2, mantissa de 4 dígitos e expoentes que vão de -18 a 18. A pergunta é: o número real RA que você tem pode ser representado exatamente nesse sistema, ou será uma representação inexata? Para resolver isso, vamos precisar entender como números são representados nesses sistemas e verificar se RA se encaixa nas limitações dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona um sistema de ponto flutuante. Ele representa números na forma:
onde:
-
é a mantissa, que tem um comprimento fixo de 4 dígitos na base 2. -
é o expoente, que pode variar entre -18 e 18.
A mantissa tem um bit implícito, então na prática, ela pode representar números entre 1.0000 e 1.1111 em binário.
Passo 3
Agora, para verificar se RA é representável, precisamos conferir duas coisas:
- Intervalo do número: RA deve estar dentro do menor e maior número que o sistema pode representar.
- Precisão da mantissa: RA deve poder ser escrito com uma mantissa de 4 dígitos na base 2.
Vamos quebrar isso:
Intervalo de Representação
O menor número positivo que pode ser representado é:
E o maior número é:
Então, RA precisa estar entre aproximadamente
e
.
Precisão da Mantissa
Como a mantissa tem 4 dígitos na base 2, ela pode representar apenas números com uma precisão de
(já que
). Isso significa que nem todos os números podem ser representados exatamente; muitos serão aproximados.
Passo 4
Vamos supor que RA esteja dentro do intervalo permitido. Mesmo assim, para ser uma representação exata, RA teria que ser uma potência de 2 com um multiplicador que pode ser expresso exatamente com a mantissa de 4 dígitos.
Por exemplo, se RA for
, podemos representá-lo exatamente porque a mantissa 1.1000 (em binário) multiplica perfeitamente por
.
Passo 5
No entanto, se RA for algo como
em binário (ou seja, 1.5 em decimal), como no exemplo acima, isso pode ser representado exatamente. Mas se RA for algo que não se encaixa nas possibilidades da mantissa de 4 dígitos, teremos uma representação inexata, onde o número é arredondado para a mantissa mais próxima possível.
Resposta
Sim, o número RA é representável nesse sistema de ponto flutuante, e sua representação é exata se ele puder ser expresso com uma mantissa de 4 dígitos na base 2 dentro do intervalo permitido. Caso contrário, a representação será inexata.
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Considere o sistema de pontos flutuantes de base 2, comprimento de mantissas 3 e expoentes entre -4 e 4 . Escreva o número
nesse sistema de pontos flutuantes.
com erro menor que
.
Considere os números reais
e
. Considere também o sistema de pontos flutuantes
cuja base é 2 , cujo comprimento da mantissa é 3 e cujos expoentes são números inteiros no intervalo entre -4 e 5.
(d) Calcule e
usando a aritmética de pontos flutuantes de
.
(d) Calcule
Encontre um número
não-zero tal que:
© é representável nos dois sistemas de pontos flutuantes acima, no primeiro de maneira exata e no segundo de maneira inexata.
©