Considere os números reais alpha=2,5, beta=1,75 e gamma=0,375. Considere também o sistema de pontos flutuantes F cuja base é 2 , cujo comprimento da mantissa é 3 e cujos expoentes são números inteiros no intervalo entre -4 e 5.
(b) Calcule (alpha+beta)+gamma e alpha+(beta+gamma) usando a aritmética de pontos flutuantes de F.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcularmos e usando a aritmética de pontos flutuantes do sistema . Aqui, temos os números reais , e . O sistema de pontos flutuantes usa base 2, tem mantissa de 3 bits e os expoentes vão de a . Para resolver isso, vamos precisar entender como representar esses números em ponto flutuante no sistema e depois fazer as somas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos representar cada número ( N = (-1)^s times 1M times 2^E , e ) no formato de ponto flutuante do sistema . No sistema de ponto flutuante, um número é representado como:
Onde:
  • é o sinal (0 para positivo, 1 para negativo),
  • é a mantissa (com 3 bits neste caso),
  • é o expoente.
Vamos converter cada número para esse formato.

Passo 3

Convertendo 2,5 = 10,12 :
Primeiro, convertemos 2,5 para binário:
10,12 = 1,012 times 2^1
Agora, normalizamos para alpha = 1.010 times 2^1 :
Então, a mantissa é (considerando apenas 3 bits após o ponto) e o expoente .
Representação em :

Passo 4

Convertendo 1,75 = 1,112 :
Convertendo para binário:
1,112 = 1,112 times 2^0
Normalizando:
beta = 1.110 times 2^0
Mantissa (após arredondar para 3 bits) e expoente .
Representação em :

Passo 5

Convertendo 0,375 = 0,0112 :
Convertendo para binário:
0,0112 = 1,102 times 2^-2
Normalizando:
gamma = 1.100 times 2^-2
Mantissa (após arredondar para 3 bits) e expoente .
Representação em :

Passo 6

Agora que temos todas as representações em ponto flutuante, vamos calcular alpha = 1.010 times 2^1 .
Primeiro, calculamos beta = 1.110 times 2^0 :
beta = 0.111 times 2^1
1.010 + 0.111 = 1.101
Para somar, precisamos que os expoentes sejam iguais. Ajustamos 1.101 approx 1.10 times 2^1 para ter o mesmo expoente de alpha + beta = 1.10 times 2^1 :
Agora, somamos as mantissas:
Mantissa resultante: , expoente .
Como a mantissa tem 4 bits agora e nosso sistema só aceita 3 bits, precisamos arredondar. Vamos arredondar para (mantissa de 3 bits) e ajustar o expoente:
Portanto:

Passo 7

Agora, somamos (alpha + beta) = 1.10 times 2^1 ao resultado de gamma = 1.100 times 2^-2 :
1.10 times 2^1 = 0.110 times 2^2 = 0.0110 times 2^0
0.0110 times 2^0 = 1.100 times 2^-2 (mantissa ajustada)
Novamente, ajustamos os expoentes para igualá-los. Vamos ajustar 1.100 + 1.100 = 11.000 para o expoente de 11.000 approx 1.100 times 2^1 :
1.100 times 2^1
(alpha + beta) + gamma = 1.100 times 2^1
Agora somamos:
Mantissa resultante: , expoente .
Arredondando para 3 bits:
Ajustando o expoente:
Então:

Passo 8

Agora, vamos calcular beta = 1.110 times 2^0 .
Primeiro, calculamos gamma = 1.100 times 2^-2 :
gamma = 0.011 times 2^0
1.110 + 0.011 = 1.101
Ajustamos os expoentes para igualar:
1.101 approx 1.10 times 2^0
Agora, somamos as mantissas:
beta + gamma = 1.10 times 2^0
Mantissa resultante: , expoente .
Arredondamos para 3 bits:
Então:

Passo 9

Agora, somamos alpha = 1.010 times 2^1 ao resultado de beta + gamma = 1.10 times 2^0 :
1.10 times 2^0 = 0.110 times 2^1
1.010 + 0.110 = 1.100
Ajustamos os expoentes:
alpha + (beta + gamma) = 1.100 times 2^1
Agora, somamos as mantissas:
Mantissa resultante: , expoente .
Como já temos 3 bits na mantissa, não precisamos arredondar.
Portanto:

Resposta

Tanto 1.100 times 2^1 quanto resultam em:

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