Considere os números reais
e
. Considere também o sistema de pontos flutuantes
cuja base é 2 , cujo comprimento da mantissa é 3 e cujos expoentes são números inteiros no intervalo entre -4 e 5.
(b) Calcule
e
usando a aritmética de pontos flutuantes de
.
(b) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcularmos
e
usando a aritmética de pontos flutuantes do sistema
. Aqui, temos os números reais
,
e
. O sistema de pontos flutuantes
usa base 2, tem mantissa de 3 bits e os expoentes vão de
a
. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar esses números em ponto flutuante no sistema
e depois fazer as somas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos representar cada número (
,
e
) no formato de ponto flutuante do sistema
. No sistema de ponto flutuante, um número é representado como:
Onde:
-
é o sinal (0 para positivo, 1 para negativo), -
é a mantissa (com 3 bits neste caso), -
é o expoente.
Vamos converter cada número para esse formato.
Passo 3
Convertendo
:
Primeiro, convertemos 2,5 para binário:
Agora, normalizamos para
:
Então, a mantissa
é
(considerando apenas 3 bits após o ponto) e o expoente
.
Representação em
:
Passo 4
Convertendo
:
Convertendo para binário:
Normalizando:
Mantissa
(após arredondar para 3 bits) e expoente
.
Representação em
:
Passo 5
Convertendo
:
Convertendo para binário:
Normalizando:
Mantissa
(após arredondar para 3 bits) e expoente
.
Representação em
:
Passo 6
Agora que temos todas as representações em ponto flutuante, vamos calcular
.
Primeiro, calculamos
:
Para somar, precisamos que os expoentes sejam iguais. Ajustamos
para ter o mesmo expoente de
:
Agora, somamos as mantissas:
Mantissa resultante:
, expoente
.
Como a mantissa tem 4 bits agora e nosso sistema só aceita 3 bits, precisamos arredondar. Vamos arredondar para
(mantissa de 3 bits) e ajustar o expoente:
Portanto:
Passo 7
Agora, somamos
ao resultado de
:
Novamente, ajustamos os expoentes para igualá-los. Vamos ajustar
para o expoente de
:
Agora somamos:
Mantissa resultante:
, expoente
.
Arredondando para 3 bits:
Ajustando o expoente:
Então:
Passo 8
Agora, vamos calcular
.
Primeiro, calculamos
:
Ajustamos os expoentes para igualar:
Agora, somamos as mantissas:
Mantissa resultante:
, expoente
.
Arredondamos para 3 bits:
Então:
Passo 9
Agora, somamos
ao resultado de
:
Ajustamos os expoentes:
Agora, somamos as mantissas:
Mantissa resultante:
, expoente
.
Como já temos 3 bits na mantissa, não precisamos arredondar.
Portanto:
Resposta
Tanto
quanto
resultam em:
Exercícios relacionados
Seja
para todo
. Use a interpolação de Lagrange para encontrar um polinômio
de grau máximo igual a dois, que concorde com esta função nos pontos
e
. (Não simplifique!) e calcule
.
Seja
para todo
. Use o a fórmula de Newton para interpolação com diferenças divididas para encontrar um polinômio
de grau máximo igual a dois, que concorde com esta função nos pontos
e
e calcule
Suponha que, ao medir o interior de uma caixa de formato retangular com uma régua que possui medidas em milímetros, obtemos que a altura mede aproximadamente
e que as dimensões da base são aproximadamente
e
.
(b) Estime os erros que teremos ao calcular a área da superfície desta caixa?
(b) Estime os erros que teremos ao calcular a área da superfície desta caixa?