Seja para todo . Use o a fórmula de Newton para interpolação com diferenças divididas para encontrar um polinômio de grau máximo igual a dois, que concorde com esta função nos pontos e e calcule

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos a função e precisamos encontrar um polinômio de grau até 2, chamado , que passe pelos pontos , e . Para isso, vamos usar a fórmula de Newton para interpolação com diferenças divididas. Depois, vamos calcular o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os pontos que a função passa:

Passo 3

Agora, vamos calcular as diferenças divididas. A primeira diferença dividida entre e é:
E a primeira diferença dividida entre e é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a diferença dividida de segunda ordem entre , e :

Passo 5

Com as diferenças divididas calculadas, podemos montar o polinômio de Newton. A fórmula geral do polinômio de Newton é:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Então, o polinômio interpolador é:

Passo 6

Agora, vamos calcular :

Resposta

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Considere os números reais e . Considere também o sistema de pontos flutuantes cuja base é 2 , cujo comprimento da mantissa é 3 e cujos expoentes são números inteiros no intervalo entre -4 e 5.
(b) Calcule e usando a aritmética de pontos flutuantes de .
Seja para todo . Use a interpolação de Lagrange para encontrar um polinômio de grau máximo igual a dois, que concorde com esta função nos pontos e . (Não simplifique!) e calcule .
Suponha que, ao medir o interior de uma caixa de formato retangular com uma régua que possui medidas em milímetros, obtemos que a altura mede aproximadamente e que as dimensões da base são aproximadamente e .
(b) Estime os erros que teremos ao calcular a área da superfície desta caixa?
Seja definida no intervalo .
Aproxime utilizando interpolação linear com e ;