Seja f(x)=3^x para todo x in R. Use o a fórmula de Newton para interpolação com diferenças divididas para encontrar um polinômio P(x) de grau máximo igual a dois, que concorde com esta função nos pontos x0=0, x1=1 e x2=2 e calcule P(0.3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos a função e precisamos encontrar um polinômio de grau até 2, chamado , que passe pelos pontos , e . Para isso, vamos usar a fórmula de Newton para interpolação com diferenças divididas. Depois, vamos calcular o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os pontos que a função c|c x & f(x) = 3^x hline 0 & 3^0 = 1 1 & 3^1 = 3 2 & 3^2 = 9 passa:

Passo 3

Agora, vamos calcular as diferenças divididas. A primeira diferença dividida entre f[x0, x1] = f(x1) - f(x0)x1 - x0 = 3 - 11 - 0 = 2 e f[x1, x2] = f(x2) - f(x1)x2 - x1 = 9 - 32 - 1 = 6 é:
E a primeira diferença dividida entre e é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a diferença dividida de segunda ordem entre f[x0, x1, x2] = f[x1, x2] - f[x0, x1]x2 - x0 = 6 - 22 - 0 = 2 , e :

Passo 5

Com as diferenças divididas calculadas, podemos montar o polinômio de Newton. A fórmula geral do polinômio de Newton é:
P(x) = f(x0) + f[x0, x1](x - x0) + f[x0, x1, x2](x - x0)(x - x1)
Substituindo os valores que encontramos:
P(x) = 1 + 2(x - 0) + 2(x - 0)(x - 1)
Simplificando:
P(x) = 1 + 2x + 2x(x - 1) = 1 + 2x + 2x^2 - 2x = 1 + 2x^2
Então, o polinômio interpolador é:
P(x) = 2x^2 + 1

Passo 6

Agora, vamos calcular P(0.3) = 2(0.3)^2 + 1 = 2(0.09) + 1 = 0.18 + 1 = 1.18 :

Resposta

Exercícios relacionados