Seja para todo . Use a interpolação de Lagrange para encontrar um polinômio de grau máximo igual a dois, que concorde com esta função nos pontos e . (Não simplifique!) e calcule .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa encontrar um polinômio de grau no máximo 2 que passe pelos pontos , e usando a Interpolação de Lagrange. Depois, vamos calcular . Para isso, vamos precisar entender como funciona a interpolação de Lagrange e aplicar a fórmula dela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Interpolação de Lagrange. É um método para encontrar um polinômio que passe por um conjunto de pontos dados. A fórmula geral para um polinômio de grau que passa por pontos é:
Onde cada é o polinômio de Lagrange definido por:

Passo 3

No nosso caso, temos 3 pontos ( ), então vamos calcular , e :
Para :
Para :
Para :

Passo 4

Agora que temos os polinômios de Lagrange, vamos construir usando a fórmula da interpolação:
Sabemos que:
Substituindo na fórmula:

Passo 5

Vamos agora escrever o polinômio completo sem simplificar, conforme solicitado:

Passo 6

Finalmente, vamos calcular . Substituímos na expressão do polinômio:
Agora, vamos calcular cada parte:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Somando todos os termos:

Resposta

Portanto, .

Exercícios relacionados

Encontre os polinômios de menor grau que interpolam este conjunto de pontos:
;
Considere os números reais e . Considere também o sistema de pontos flutuantes cuja base é 2 , cujo comprimento da mantissa é 3 e cujos expoentes são números inteiros no intervalo entre -4 e 5.
(b) Calcule e usando a aritmética de pontos flutuantes de .
Seja para todo . Use o a fórmula de Newton para interpolação com diferenças divididas para encontrar um polinômio de grau máximo igual a dois, que concorde com esta função nos pontos e e calcule