Seja f(x)=3^x para todo x in R. Use a interpolação de Lagrange para encontrar um polinômio P(x) de grau máximo igual a dois, que concorde com esta função nos pontos x0=0, x1=1 e x2=2. (Não simplifique!) e calcule P(0.3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa encontrar um polinômio de grau no máximo 2 que passe pelos pontos , e usando a Interpolação de Lagrange. Depois, vamos calcular . Para isso, vamos precisar entender como funciona a interpolação de Lagrange e aplicar a fórmula dela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Interpolação de Lagrange. É um método para encontrar um polinômio que passe por um conjunto de pontos dados. A fórmula geral para um polinômio de grau P(x) = sumi=0^n f(xi) cdot Li(x) que passa por Li(x) = prodsubstackj=0 j neq i^n x - xjxi - xj pontos é:
Onde cada é o polinômio de Lagrange definido por:

Passo 3

No nosso caso, temos 3 pontos ( L0(x) = (x - x1)(x - x2)(x0 - x1)(x0 - x2) = (x - 1)(x - 2)(0 - 1)(0 - 2) = (x - 1)(x - 2)2 ), então vamos calcular L1(x) = (x - x0)(x - x2)(x1 - x0)(x1 - x2) = (x - 0)(x - 2)(1 - 0)(1 - 2) = x(x - 2)-1 = -x(x - 2) , L2(x) = (x - x0)(x - x1)(x2 - x0)(x2 - x1) = (x - 0)(x - 1)(2 - 0)(2 - 1) = x(x - 1)2 e :
Para :
Para :
Para :

Passo 4

Agora que temos os polinômios de Lagrange, vamos construir P(x) = f(x0) cdot L0(x) + f(x1) cdot L1(x) + f(x2) cdot L2(x) usando a fórmula da interpolação:
f(x0) = 3^0 = 1 f(x1) = 3^1 = 3 f(x2) = 3^2 = 9
Sabemos que:
P(x) = 1 cdot (x - 1)(x - 2)2 + 3 cdot (-x(x - 2)) + 9 cdot x(x - 1)2
Substituindo na fórmula:

Passo 5

Vamos agora escrever o polinômio P(x) = (x - 1)(x - 2)2 - 3x(x - 2) + 9x(x - 1)2 completo sem simplificar, conforme solicitado:

Passo 6

Finalmente, vamos calcular P(0.3) = (0.3 - 1)(0.3 - 2)2 - 3 cdot 0.3(0.3 - 2) + 9 cdot 0.3(0.3 - 1)2 . Substituímos (0.3 - 1)(0.3 - 2)2 = (-0.7)(-1.7)2 = 1.192 = 0.595 na expressão do polinômio:
-3 cdot 0.3(0.3 - 2) = -3 cdot 0.3 cdot (-1.7) = -3 cdot (-0.51) = 1.53
Agora, vamos calcular cada parte:
Primeiro termo:
9 cdot 0.3(0.3 - 1)2 = 9 cdot 0.3 cdot (-0.7)2 = 9 cdot (-0.21)2 = -1.892 = -0.945
Segundo termo:
0.595 + 1.53 - 0.945 = 1.18
Terceiro termo:
Somando todos os termos:

Resposta

Portanto, .

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