Seja
para todo
. Use a interpolação de Lagrange para encontrar um polinômio
de grau máximo igual a dois, que concorde com esta função nos pontos
e
. (Não simplifique!) e calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisa encontrar um polinômio
de grau no máximo 2 que passe pelos pontos
,
e
usando a Interpolação de Lagrange. Depois, vamos calcular
. Para isso, vamos precisar entender como funciona a interpolação de Lagrange e aplicar a fórmula dela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Interpolação de Lagrange. É um método para encontrar um polinômio que passe por um conjunto de pontos dados. A fórmula geral para um polinômio de grau
que passa por
pontos é:
Onde cada
é o polinômio de Lagrange definido por:
Passo 3
No nosso caso, temos 3 pontos (
), então vamos calcular
,
e
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora que temos os polinômios de Lagrange, vamos construir
usando a fórmula da interpolação:
Sabemos que:
Substituindo na fórmula:
Passo 5
Vamos agora escrever o polinômio
completo sem simplificar, conforme solicitado:
Passo 6
Finalmente, vamos calcular
. Substituímos
na expressão do polinômio:
Agora, vamos calcular cada parte:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Somando todos os termos:
Resposta
Portanto,
.
Exercícios relacionados
Encontre os polinômios de menor grau que interpolam este conjunto de pontos:
;
Considere os números reais
e
. Considere também o sistema de pontos flutuantes
cuja base é 2 , cujo comprimento da mantissa é 3 e cujos expoentes são números inteiros no intervalo entre -4 e 5.
(b) Calcule e
usando a aritmética de pontos flutuantes de
.
(b) Calcule
Seja
para todo
. Use o a fórmula de Newton para interpolação com diferenças divididas para encontrar um polinômio
de grau máximo igual a dois, que concorde com esta função nos pontos
e
e calcule