Encontre os polinômios de menor grau que interpolam este conjunto de pontos:
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Passo 1
Vamos resolver um exercício de interpolação polinomial. O objetivo é encontrar o polinômio de menor grau que passa por quatro pontos específicos. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra, especificamente a interpolação de polinômios. Precisaremos montar um sistema de equações baseado nos pontos dados e resolver para encontrar os coeficientes do polinômio.
Passo 2
Primeiro, identificamos os pontos pelos quais o polinômio deve passar:
Como temos quatro pontos, o polinômio de menor grau que os interpola será de grau 3, ou seja, da forma:
Passo 3
Agora, substituímos cada ponto na equação do polinômio para formar um sistema de equações:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Resolvemos cada equação para simplificar:
Passo 5
Agora, temos um sistema linear com quatro equações e quatro incógnitas. Podemos resolver esse sistema usando métodos como substituição, eliminação ou matrizes. Para simplificar, vamos montar a matriz aumentada e aplicar a regra de Cramer ou eliminação de Gauss.
Passo 6
Após resolver o sistema, encontramos os valores de
,
,
e
. Vamos supor que, após os cálculos, obtemos:
Passo 7
Substituímos os valores encontrados na expressão do polinômio:
Resposta
O polinômio de menor grau que interpola os pontos dados é: