Para uma variável V que pode assumir N valores , com probabilidades , o valor médio é definido por
.
Se a variável for contínua como x, a soma é substituída por uma integral. Então você não deverá se surpreender se a média sobre x no estado for definida por

e a média sobre por
.
(I) Encontre e para uma partícula de massa m que está no estado fundamental de uma caixa de comprimento . Faça uso de argumentos de simetria para encontrar , ao invés de fazer as integrais.
A definição técnica de incerteza é
.
Quanto é para o estado fundamental de uma caixa?
(II) Afirma-se que para qualquer estado , o momento médio é

Mostre que esta relação se reduz a

no caso de e de forma similar para , colocando-se estas duas somas na integral acima. Dica: Ortonormalidade.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício passo a passo! Primeiro, resumindo o que a questão pede:
  • Conteúdo da matéria: Mecânica Quântica, especificamente propriedades de partículas em uma caixa (ou potencial infinito).
  • O que precisamos: Entender como calcular valores médios ( e ) para uma partícula no estado fundamental de uma caixa e determinar a incerteza . Depois, mostrar como o momento médio se simplifica usando a expansão em estados próprios.

Passo 2

Vamos começar com a parte (I). Precisamos encontrar e para uma partícula no estado fundamental de uma caixa de comprimento .
No estado fundamental, a função de onda é simétrica em relação ao centro da caixa. Ou seja, se a caixa vai de a , o centro é em .

Passo 3

Calculando :
Devido à simetria da função de onda no estado fundamental, sabemos que a distribuição de probabilidade é simétrica em torno de . Isso significa que a média deve estar exatamente no centro da caixa.
Então,

Passo 4

Calculando :
Para encontrar , precisamos integrar sobre o intervalo da caixa. Vamos considerar a função de onda do estado fundamental:
Então,
Essa integral pode ser resolvida usando identidades trigonométricas e integração por partes, chegando em:

Passo 5

Calculando a incerteza :
A incerteza é definida por:
Já temos e , então:
Simplificando,

Passo 6

Agora, vamos para a parte (II). Queremos mostrar que o momento médio se reduz a quando a função de onda é expressa como uma combinação linear de estados próprios , ou seja:

Passo 7

Começamos com a definição do momento médio:
Substituindo pela expansão:

Passo 8

Expandindo a expressão:
Aqui, usamos a propriedade de ortonormalidade dos estados próprios:

Passo 9

Considerando que está relacionado ao momento do estado próprio, e usando a ortonormalidade, a integral simplifica para:

Resposta

Mostramos que, ao expandir a função de onda e usando a ortonormalidade dos estados próprios, o momento médio se reduz a:

Exercícios relacionados

Qual a concentração de de solução de ? para
a)
Qual das seguintes soluções terá ?
d)
Escreva duas funções de onda não normalizadas e fisicamente distintas (ou seja, que não sejam múltiplas uma da outra) que descreva uma partícula em uma caixa que tenha de chance de estar no estado e de chance de estar no estado .
Considere uma partícula livre movendo-se em um anel de circunferência L. Define-se como sendo os estados normalizados de momento .
(l) Mostre que também é um estado com energia definida. Encontre esta energia mostrando que eles satisfazem a equação onde (em geral)
.
(II) Dado que , normalize esse estado. Encontre .