Para uma variável V que pode assumir N valores V1, V2, cdots Vi, cdots VN, com probabilidades P(i), o valor médio é definido por
lang<= Vrang<= sumi^N P(i) Vi.
Se a variável for contínua como x, a soma é substituída por uma integral. Então você não deverá se surpreender se a média sobre x no estado psi(x) for definida por
lang<= xrang<==integral P(x) x d x=integral psi^*(x) psi(x) x d x
e a média sobre x^2 por
lang<= x^2rang<==integral psi^*(x) psi(x) x^2 d x.
(I) Encontre lang<= xrang<= e lang<= x^2rang<= para uma partícula de massa m que está no estado fundamental de uma caixa de comprimento L. Faça uso de argumentos de simetria para encontrar lang<= xrang<=, ao invés de fazer as integrais.
A definição técnica de incerteza é
De.
Quanto é De para o estado fundamental de uma caixa?
(II) Afirma-se que para qualquer estado psi(x), o momento médio é
lang<= prang<==integral psi^*(x)(-i hbar d psi(x)d x) d x
Mostre que esta relação se reduz a
lang<= prang<==sump|Ap|^2 p
no caso de psi(x)=sump Ap psip(x) e de forma similar para psi^*(x), colocando-se estas duas somas na integral acima. Dica: Ortonormalidade.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício passo a passo! Primeiro, resumindo o que a questão pede:
  • Conteúdo da matéria: Mecânica Quântica, especificamente propriedades de partículas em uma caixa (ou potencial infinito).
  • O que precisamos: Entender como calcular valores médios ( e ) para uma partícula no estado fundamental de uma caixa e determinar a incerteza . Depois, mostrar como o momento médio se simplifica usando a expansão em estados próprios.

Passo 2

Vamos começar com a parte (I). Precisamos encontrar e para uma partícula no estado fundamental de uma caixa de comprimento .
No estado fundamental, a função de onda é simétrica em relação ao centro da caixa. Ou seja, se a caixa vai de a , o centro é em .

Passo 3

Calculando lang<= x rang<= = L2 :
Devido à simetria da função de onda no estado fundamental, sabemos que a distribuição de probabilidade é simétrica em torno de . Isso significa que a média deve estar exatamente no centro da caixa.
Então,

Passo 4

Calculando psi1(x) = raiz2L sin(pi xL) :
Para encontrar lang<= x^2 rang<= = integral0^L psi1^*(x) psi1(x) x^2 , dx = 2L integral0^L sin^2(pi xL) x^2 , dx , precisamos integrar lang<= x^2 rang<= = L^23 - L^22pi^2 sobre o intervalo da caixa. Vamos considerar a função de onda do estado fundamental:
Então,
Essa integral pode ser resolvida usando identidades trigonométricas e integração por partes, chegando em:

Passo 5

Calculando a incerteza De:
A incerteza é definida por:
De
Já temos De e , então:
Simplificando,

Passo 6

Agora, vamos para a parte (II). Queremos mostrar que o momento médio psi(x) = sump Ap psip(x) se reduz a quando a função de onda é expressa como uma combinação linear de estados próprios , ou seja:

Passo 7

Começamos com a definição do momento médio:
lang<= p rang<= = integral psi^*(x) (-i hbar ddx) psi(x) , dx
Substituindo lang<= p rang<= = integral (sump' Ap'^* psip'^*(x)) (-i hbar ddx) (sump Ap psip(x)) dx pela expansão:

Passo 8

Expandindo a expressão:
lang<= p rang<= = -i hbar sump' sump Ap'^* Ap integral psip'^*(x) ddx psip(x) , dx
Aqui, usamos a propriedade de ortonormalidade dos estados próprios:
integral psip'^*(x) psip(x) , dx = de

Passo 9

Considerando que lang<= p rang<= = sump |Ap|^2 p está relacionado ao momento do estado próprio, e usando a ortonormalidade, a integral simplifica para:

Resposta

Mostramos que, ao expandir a função de onda lang<= p rang<= = sump | Ap |^2 p e usando a ortonormalidade dos estados próprios, o momento médio se reduz a:

Exercícios relacionados