Para uma variável V que pode assumir N valores
, com probabilidades
, o valor médio é definido por
.
Se a variável for contínua como x, a soma é substituída por uma integral. Então você não deverá se surpreender se a média sobre x no estado
for definida por
e a média sobre
por
.
(I) Encontre
e
para uma partícula de massa m que está no estado fundamental de uma caixa de comprimento
. Faça uso de argumentos de simetria para encontrar
, ao invés de fazer as integrais.
A definição técnica de incerteza é
.
Quanto é
para o estado fundamental de uma caixa?
(II) Afirma-se que para qualquer estado
, o momento médio é
Mostre que esta relação se reduz a
no caso de
e de forma similar para
, colocando-se estas duas somas na integral acima. Dica: Ortonormalidade.
Se a variável for contínua como x, a soma é substituída por uma integral. Então você não deverá se surpreender se a média sobre x no estado
e a média sobre
(I) Encontre
A definição técnica de incerteza é
Quanto é
(II) Afirma-se que para qualquer estado
Mostre que esta relação se reduz a
no caso de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício passo a passo! Primeiro, resumindo o que a questão pede:
- Conteúdo da matéria: Mecânica Quântica, especificamente propriedades de partículas em uma caixa (ou potencial infinito).
- O que precisamos: Entender como calcular valores médios (
e ) para uma partícula no estado fundamental de uma caixa e determinar a incerteza . Depois, mostrar como o momento médio se simplifica usando a expansão em estados próprios.
Passo 2
Vamos começar com a parte (I). Precisamos encontrar
e
para uma partícula no estado fundamental de uma caixa de comprimento
.
No estado fundamental, a função de onda
é simétrica em relação ao centro da caixa. Ou seja, se a caixa vai de
a
, o centro é em
.
Passo 3
Calculando
:
Devido à simetria da função de onda no estado fundamental, sabemos que a distribuição de probabilidade é simétrica em torno de
. Isso significa que a média
deve estar exatamente no centro da caixa.
Então,
Passo 4
Calculando
:
Para encontrar
, precisamos integrar
sobre o intervalo da caixa. Vamos considerar a função de onda do estado fundamental:
Então,
Essa integral pode ser resolvida usando identidades trigonométricas e integração por partes, chegando em:
Passo 5
Calculando a incerteza
:
A incerteza é definida por:
Já temos
e
, então:
Simplificando,
Passo 6
Agora, vamos para a parte (II). Queremos mostrar que o momento médio
se reduz a
quando a função de onda
é expressa como uma combinação linear de estados próprios
, ou seja:
Passo 7
Começamos com a definição do momento médio:
Substituindo
pela expansão:
Passo 8
Expandindo a expressão:
Aqui, usamos a propriedade de ortonormalidade dos estados próprios:
Passo 9
Considerando que
está relacionado ao momento
do estado próprio, e usando a ortonormalidade, a integral simplifica para:
Resposta
Mostramos que, ao expandir a função de onda
e usando a ortonormalidade dos estados próprios, o momento médio se reduz a:
Exercícios relacionados
Qual a concentração de
de solução
de
?
para
a)
a)
Qual das seguintes soluções terá
?
d)
d)
Escreva duas funções de onda não normalizadas e fisicamente distintas (ou seja, que não sejam múltiplas uma da outra) que descreva uma partícula em uma caixa que tenha
de chance de estar no estado
e
de chance de estar no estado
.
Considere uma partícula livre
movendo-se em um anel de circunferência L. Define-se
como sendo os estados normalizados de momento
.
(l) Mostre que também é um estado com energia definida. Encontre esta energia mostrando que eles satisfazem a equação
onde (em geral)
.
(II) Dado que , normalize esse estado. Encontre
.
(l) Mostre que
(II) Dado que