Responder resumidamente:
c) Qual a vantagem de se utilizar o Algoritmo de Horner para se avaliar o valor do polinômio num ponto? Exemplifique.

Passo 1

Vamos lá! A questão está perguntando sobre a vantagem de usar o Algoritmo de Horner para calcular o valor de um polinômio em um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um polinômio, como ele é avaliado e como o Algoritmo de Horner facilita esse processo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um polinômio. Um polinômio é uma expressão matemática composta por termos que têm potências de uma variável, geralmente representada por P(x) = 2x^3 + 3x^2 + x + 5 . Por exemplo:

Passo 3

Para avaliar esse polinômio em um ponto específico, digamos P(2) = 2(2)^3 + 3(2)^2 + 2 + 5 = 16 + 12 + 2 + 5 = 35 , a forma direta seria substituir por 2 em cada termo:

Passo 4

No entanto, essa abordagem direta pode ser trabalhoso, especialmente para polinômios de alto grau. É aí que entra o Algoritmo de Horner. Esse algoritmo reorganiza o polinômio para minimizar o número de operações necessárias.

Passo 5

Como funciona o Algoritmo de Horner? Vamos reescrever o polinômio usando fatoração por P(x) = ((2x + 3)x + 1)x + 5 :

Passo 6

Agora, avaliamos passo a passo:
  1. Começamos com o coeficiente do termo de maior grau: 2
  2. Multiplicamos por e somamos o próximo coeficiente:
  3. Repetimos:
  4. Finalmente:

Passo 7

Viu como foi mais simples? Usando o Algoritmo de Horner, reduzimos o número de multiplicações e adições necessárias. Isso é especialmente útil para polinômios com muitos termos, tornando o cálculo mais rápido e eficiente.

Resposta

A vantagem de utilizar o Algoritmo de Horner para avaliar um polinômio em um ponto é que ele reduz o número de operações necessárias, tornando o processo mais rápido e eficiente. Por exemplo, para o polinômio avaliado em , o Algoritmo de Horner simplifica os cálculos para chegar rapidamente ao resultado .

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