Considere o polinômio p(x)=x^4-115 x^3+1575 x^2-7625 x+12500.
a)Aplique a Regra do Sinal de Descartes e verifique quantas raízes reais positivas e negativas o polinônio possui.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá o polinômio e pede para aplicar a Regra do Sinal de Descartes. Essa regra ajuda a determinar quantas raízes reais positivas e negativas um polinômio pode ter baseado nas mudanças de sinais dos coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos contar as mudanças de sinal nos coeficientes de p(x) = +x^4 ,, -115x^3 ,, +1575x^2 ,, -7625x ,, +12500 para descobrir as possíveis raízes positivas. Olha só:
Cada vez que muda o sinal de positivo para negativo ou vice-versa, conta uma mudança.

Passo 3

Contando as mudanças:
  1. De para → mudança 1
  2. De para → mudança 2
  3. De para → mudança 3
  4. De para → mudança 4
Então, temos 4 mudanças de sinal. Segundo Descartes, o número de raízes reais positivas é igual ao número de mudanças ou menos um número par. Portanto, podem ser 4, 2 ou 0 raízes positivas.

Passo 4

Agora, vamos descobrir as raízes negativas. Para isso, substituímos p(-x) = (-x)^4 - 115(-x)^3 + 1575(-x)^2 - 7625(-x) + 12500 por p(-x) = x^4 + 115x^3 + 1575x^2 + 7625x + 12500 no polinômio:
Simplificando:

Passo 5

Vamos contar as mudanças de sinal em p(-x) = +x^4 ,, +115x^3 ,, +1575x^2 ,, +7625x ,, +12500 :
Aqui, não há mudanças de sinal entre os termos.

Passo 6

Sem mudanças de sinal, segundo a Regra de Descartes, isso significa que não há raízes reais negativas.

Resposta

Aplicando a Regra do Sinal de Descartes, o polinômio possui até 4, 2 ou 0 raízes reais positivas e nenhuma raiz real negativa.

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