Considere o polinômio .
a)Aplique a Regra do Sinal de Descartes e verifique quantas raízes reais positivas e negativas o polinônio possui.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá o polinômio e pede para aplicar a Regra do Sinal de Descartes. Essa regra ajuda a determinar quantas raízes reais positivas e negativas um polinômio pode ter baseado nas mudanças de sinais dos coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos contar as mudanças de sinal nos coeficientes de para descobrir as possíveis raízes positivas. Olha só:
Cada vez que muda o sinal de positivo para negativo ou vice-versa, conta uma mudança.

Passo 3

Contando as mudanças:
  1. De para → mudança 1
  2. De para → mudança 2
  3. De para → mudança 3
  4. De para → mudança 4
Então, temos 4 mudanças de sinal. Segundo Descartes, o número de raízes reais positivas é igual ao número de mudanças ou menos um número par. Portanto, podem ser 4, 2 ou 0 raízes positivas.

Passo 4

Agora, vamos descobrir as raízes negativas. Para isso, substituímos por no polinômio:
Simplificando:

Passo 5

Vamos contar as mudanças de sinal em :
Aqui, não há mudanças de sinal entre os termos.

Passo 6

Sem mudanças de sinal, segundo a Regra de Descartes, isso significa que não há raízes reais negativas.

Resposta

Aplicando a Regra do Sinal de Descartes, o polinômio possui até 4, 2 ou 0 raízes reais positivas e nenhuma raiz real negativa.

Exercícios relacionados

Responder resumidamente:
c) Qual a vantagem de se utilizar o Algoritmo de Horner para se avaliar o valor do polinômio num ponto? Exemplifique.
Responder resumidamente:
b) Quando não converge o Método de Newton-Raphson?
Considere o polinômio .
b) Calcule todas as raízes do polinômio através dos Métodos de Birge-Vieta e NewtonRaphson. Considere e 6 casas decimais.
Dado o conjunto de pontos , onde:
Use o método de interpolação de Lagrange para determinar o polinômio de interpolação que passa por esses pontos. Em seguida, utilize o polinômio encontrado para calcular o valor aproximado de .