Considere o polinômio .
a)Aplique a Regra do Sinal de Descartes e verifique quantas raízes reais positivas e negativas o polinônio possui.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá o polinômio e pede para aplicar a Regra do Sinal de Descartes. Essa regra ajuda a determinar quantas raízes reais positivas e negativas um polinômio pode ter baseado nas mudanças de sinais dos coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos contar as mudanças de sinal nos coeficientes de para descobrir as possíveis raízes positivas. Olha só:
Cada vez que muda o sinal de positivo para negativo ou vice-versa, conta uma mudança.
Passo 3
Contando as mudanças:
De para → mudança 1
De para → mudança 2
De para → mudança 3
De para → mudança 4
Então, temos 4 mudanças de sinal. Segundo Descartes, o número de raízes reais positivas é igual ao número de mudanças ou menos um número par. Portanto, podem ser 4, 2 ou 0 raízes positivas.
Passo 4
Agora, vamos descobrir as raízes negativas. Para isso, substituímos p(-x) = (-x)^4 - 115(-x)^3 + 1575(-x)^2 - 7625(-x) + 12500 por p(-x) = x^4 + 115x^3 + 1575x^2 + 7625x + 12500 no polinômio:
Simplificando:
Passo 5
Vamos contar as mudanças de sinal em p(-x) = +x^4 ,, +115x^3 ,, +1575x^2 ,, +7625x ,, +12500 :
Aqui, não há mudanças de sinal entre os termos.
Passo 6
Sem mudanças de sinal, segundo a Regra de Descartes, isso significa que não há raízes reais negativas.
Resposta
Aplicando a Regra do Sinal de Descartes, o polinômio possui até 4, 2 ou 0 raízes reais positivas e nenhuma raiz real negativa.