Responder resumidamente:
b) Quando não converge o Método de Newton-Raphson?

Passo 1

Vamos ver a pergunta: “Quando não converge o Método de Newton-Raphson?” Estamos falando sobre o Método de Newton-Raphson, que é uma técnica para encontrar raízes de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender como o método funciona e quais condições podem fazer ele falhar em encontrar a raiz.

Passo 2

Primeiro, o Método de Newton-Raphson usa a derivada da função para aproximar a raiz. A fórmula básica é:
Isso significa que começamos com uma aproximação inicial e iteramos para encontrar melhores aproximações etc.

Passo 3

Agora, vamos pensar em quando esse método pode não convergir, ou seja, quando ele não chega perto da raiz desejada. Existem algumas situações principais:
  1. Derivada Zero: Se em algum ponto , a derivada for zero, a fórmula não funciona porque estaríamos dividindo por zero.
  2. Má Escolha do Ponto Inicial: Se escolhermos um muito longe da raiz real ou em uma região onde a função não se comporta bem, o método pode divergir ou oscilar sem chegar a uma raiz.
  3. Funções Não Suaves ou Não Nubárias: Se a função não for diferenciável na região ou tiver múltiplas raízes muito próximas, o método pode não encontrar a raiz correta.
  4. Concavidade Inadequada: Se a função tiver curvas que fazem com que as aproximiações pulem a raiz ou não se aproximem dela de forma consistente.

Passo 4

Vamos detalhar um pouco mais cada situação:
  • Derivada Zero: Imagine que a reta tangente à curva da função em é horizontal. Sem inclinação, não conseguimos ajustar , e o método para.
  • Má Escolha do : Se começarmos em um ponto onde a tangente não aponta na direção da raiz, as iterações podem nos levar mais longe ou até presos em um ciclo sem fim.
  • Funções Complicadas: Funções com pontos de inflexão ou várias raízes próximas podem confundir o método, fazendo com que ele oscile entre diferentes raízes ou não convirja.

Passo 5

Além disso, questões numéricas como erros de arredondamento também podem afetar a convergência, especialmente em cálculos com muitas iterações ou em funções muito sensíveis.

Resposta

O Método de Newton-Raphson não converge quando a derivada da função é zero no ponto de iteração, quando o ponto inicial escolhido está muito longe da raiz ou em uma região onde a função não se comporta bem, quando a função não é diferenciável ou possui múltiplas raízes próximas, ou ainda quando a concavidade da função faz com que as aproximações não se dirijam consistentemente para a raiz desejada.

Exercícios relacionados

Responder resumidamente:
a) Em que consiste o princípio da Bissecção para determinar a primeira aproximação de uma raiz de uma equação ?
Enumerar, localizar, separar e calcular, se possível, todas as raízes da função , considere casas decimais de aproximação e os seguintes métodos para Zero de Funções:
e) Construa uma tabela com os valores das raízes aproximadas para cada método, , o número de iterações e os erros. Analise qual o melhor método e justifique.
Responder resumidamente:
c) Qual a vantagem de se utilizar o Algoritmo de Horner para se avaliar o valor do polinômio num ponto? Exemplifique.
Considere o polinômio .
a)Aplique a Regra do Sinal de Descartes e verifique quantas raízes reais positivas e negativas o polinônio possui.