Responder resumidamente:
b) Quando não converge o Método de Newton-Raphson?
b) Quando não converge o Método de Newton-Raphson?
Passo 1
Vamos ver a pergunta: “Quando não converge o Método de Newton-Raphson?” Estamos falando sobre o Método de Newton-Raphson, que é uma técnica para encontrar raízes de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender como o método funciona e quais condições podem fazer ele falhar em encontrar a raiz.
Passo 2
Primeiro, o Método de Newton-Raphson usa a derivada da função para aproximar a raiz. A fórmula básica é:
Isso significa que começamos com uma aproximação inicial
e iteramos para encontrar melhores aproximações
etc.
Passo 3
Agora, vamos pensar em quando esse método pode não convergir, ou seja, quando ele não chega perto da raiz desejada. Existem algumas situações principais:
-
Derivada Zero: Se em algum ponto
, a derivada for zero, a fórmula não funciona porque estaríamos dividindo por zero. -
Má Escolha do Ponto Inicial: Se escolhermos um
muito longe da raiz real ou em uma região onde a função não se comporta bem, o método pode divergir ou oscilar sem chegar a uma raiz. -
Funções Não Suaves ou Não Nubárias: Se a função não for diferenciável na região ou tiver múltiplas raízes muito próximas, o método pode não encontrar a raiz correta.
-
Concavidade Inadequada: Se a função tiver curvas que fazem com que as aproximiações pulem a raiz ou não se aproximem dela de forma consistente.
Passo 4
Vamos detalhar um pouco mais cada situação:
-
Derivada Zero: Imagine que a reta tangente à curva da função em
é horizontal. Sem inclinação, não conseguimos ajustar , e o método para. -
Má Escolha do
: Se começarmos em um ponto onde a tangente não aponta na direção da raiz, as iterações podem nos levar mais longe ou até presos em um ciclo sem fim. -
Funções Complicadas: Funções com pontos de inflexão ou várias raízes próximas podem confundir o método, fazendo com que ele oscile entre diferentes raízes ou não convirja.
Passo 5
Além disso, questões numéricas como erros de arredondamento também podem afetar a convergência, especialmente em cálculos com muitas iterações ou em funções muito sensíveis.
Resposta
O Método de Newton-Raphson não converge quando a derivada da função é zero no ponto de iteração, quando o ponto inicial escolhido está muito longe da raiz ou em uma região onde a função não se comporta bem, quando a função não é diferenciável ou possui múltiplas raízes próximas, ou ainda quando a concavidade da função faz com que as aproximações não se dirijam consistentemente para a raiz desejada.
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Responder resumidamente:
a) Em que consiste o princípio da Bissecção para determinar a primeira aproximação de uma raiz de uma equação ?
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Enumerar, localizar, separar e calcular, se possível, todas as raízes da função
, considere
casas decimais de aproximação e os seguintes métodos para Zero de Funções:
e) Construa uma tabela com os valores das raízes aproximadas para cada método, , o número de iterações e os erros. Analise qual o melhor método e justifique.
e) Construa uma tabela com os valores das raízes aproximadas para cada método,
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c) Qual a vantagem de se utilizar o Algoritmo de Horner para se avaliar o valor do polinômio num ponto? Exemplifique.
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Considere o polinômio
.
a)Aplique a Regra do Sinal de Descartes e verifique quantas raízes reais positivas e negativas o polinônio possui.
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