Dadas as matrizes abaixo, calcule:
a) A cdot B
b) B A
c) B C
d) C D
e) D cdot C
f) Por que as letras a e b não possuem os mesmos resultados?
g) Foi possível efetuar todos os produtos acima? Por que?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de multiplicação de matrizes! A gente tem quatro matrizes A, B, C e D, e vamos calcular alguns produtos entre elas. Para isso, precisamos lembrar como multiplicar matrizes: o número de colunas da primeira matriz precisa ser igual ao número de linhas da segunda. Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar com o item a) . A matriz A é 2x2 e a matriz B também é 2x2, então dá pra multiplicar.
Passo 3
Para multiplicar A por B, multiplicamos as linhas de A pelas colunas de B e somamos os resultados. A fórmula geral para cada elemento (A cdot B)i,j = sumk=1^n Ai,k times Bk,j da matriz resultante é:
Aqui, n é o número de colunas de A, que é 2.
Passo 4
Vamos calcular cada elemento de 1 times 2 + 2 times 1 = 2 + 2 = 4 :
Primeiro elemento (1,1):
1 times 0 + 2 times 2 = 0 + 4 = 4
Segundo elemento (1,2):
3 times 2 + 1 times 1 = 6 + 1 = 7
Terceiro elemento (2,1):
3 times 0 + 1 times 2 = 0 + 2 = 2
Quarto elemento (2,2):
Passo 5
Assim, a matriz resultante de A cdot B = 4 & 4 7 & 2 é:
Passo 6
Vamos para o item b) . A matriz B é 2x2 e a matriz A também é 2x2, então dá pra multiplicar.
Passo 7
Usamos o mesmo método de multiplicação:
(B cdot A)i,j = sumk=1^2 Bi,k times Ak,j
Passo 8
Calculando cada elemento de 2 times 1 + 0 times 3 = 2 + 0 = 2 :
Primeiro elemento (1,1):
2 times 2 + 0 times 1 = 4 + 0 = 4
Segundo elemento (1,2):
1 times 1 + 2 times 3 = 1 + 6 = 7
Terceiro elemento (2,1):
1 times 2 + 2 times 1 = 2 + 2 = 4
Quarto elemento (2,2):
Passo 9
Então, a matriz resultante de B cdot A = 2 & 4 7 & 4 é:
Passo 10
Agora, respondendo ao item f) Por que as letras a e b não possuem os mesmos resultados? Porque a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, pode ser diferente de dependendo das matrizes envolvidas. Nesse caso, como vimos, e resultam em matrizes diferentes.
Resposta
A multiplicação de A cdot B = 4 & 4 7 & 2 resulta em:
B cdot A = 2 & 4 7 & 4
E a multiplicação de resulta em:
As duas multiplicações não são iguais porque a ordem dos fatores altera o produto.