Use a iteração do ponto fixo para localizar a raiz de
f(x)=sen(raizx)-x
Use a aproximação inicial x0=0,5 e itere até que E Rx <= 0,1 %.

Passo 1

Beleza, o exercício quer a gente encontrar a raiz da função usando o método de iteração do ponto fixo. Vamos começar com e continuar iterando até que o erro relativo seja menor ou igual a 0,1%. Para isso, precisamos reorganizar a equação na forma , onde é uma função que nos ajuda a iterar.

Passo 2

Vamos definir xn+1 = sin(raizxn) . Assim, a fórmula da iteração fica:
Vamos começar com .

Passo 3

Calcular x1 = sin(raiz0,5) approx sin(0,7071) approx 0,649 :
ERx = | x1 - x0x1 | times 100% approx | 0,649 - 0,50,649 | times 100% approx 22,5%
Agora, vamos calcular o erro relativo:
Como 22,5% é maior que 0,1%, precisamos continuar.

Passo 4

Calcular x2 = sin(raiz0,649) approx sin(0,8056) approx 0,723 :
ERx = | 0,723 - 0,6490,723 | times 100% approx 10,0%
Erro relativo:
Ainda é maior que 0,1%, então vamos para a próxima iteração.

Passo 5

Calcular x3 = sin(raiz0,723) approx sin(0,8506) approx 0,751 :
ERx = | 0,751 - 0,7230,751 | times 100% approx 4,3%
Erro relativo:
Ainda acima de 0,1%.

Passo 6

Calcular x4 = sin(raiz0,751) approx sin(0,867) approx 0,761 :
ERx = | 0,761 - 0,7510,761 | times 100% approx 1,3%
Erro relativo:
Ainda não atingimos o limite, então seguimos.

Passo 7

Calcular x5 = sin(raiz0,761) approx sin(0,8726) approx 0,764 :
ERx = | 0,764 - 0,7610,764 | times 100% approx 0,4%
Erro relativo:
Quase lá, mas ainda precisamos de mais uma iteração.

Passo 8

Calcular x6 = sin(raiz0,764) approx sin(0,8743) approx 0,765 :
ERx = | 0,765 - 0,7640,765 | times 100% approx 0,13%
Erro relativo:
Agora o erro relativo é menor que 0,1%.

Resposta

A raiz aproximada da função é com erro relativo de 0,13%.

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