Deduza as fórmulas de integração de Newton-Cotes do tipo fechado quando o integrando f(x) é interpolado por polinômios de grau 3 e grau 4 . Obtenha também as fórmulas repetidas para esses dois casos.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos deduzir as fórmulas de integração de Newton-Cotes do tipo fechado para quando o integrando é interpolado por polinômios de grau 3 e grau 4. Além disso, devemos obter as versões repetidas dessas fórmulas. Para isso, vamos precisar conhecer os conceitos de interpolação polinomial e as fórmulas de Newton-Cotes.

Passo 2

Vamos começar lembrando que as fórmulas de Newton-Cotes são métodos para aproximar integrais definidas. No caso de fórmulas fechadas, usamos pontos que incluem as extremidades do intervalo de integração. Isso significa que, para um intervalo , usaremos os pontos , , , …, .

Passo 3

Para deduzir a fórmula quando o polinômio é de grau 3, precisamos interpolar através de um polinômio cúbico que passa por 4 pontos (já que um polinômio de grau passa por pontos). Vamos escolher equidistantes no intervalo .

Passo 4

A integração do polinômio interpolador nos pontos escolhidos pode ser escrita como:
integrala^b P3(x) , dx approx b - a8 [ f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3) ]
Essa é a fórmula de Newton-Cotes fechada de grau 3.

Passo 5

Agora, para o caso do polinômio de grau 4, precisamos de 5 pontos integrala^b P4(x) , dx approx b - a90 [ 7f(x0) + 32f(x1) + 12f(x2) + 32f(x3) + 7f(x4) ] igualmente espaçados no intervalo . A integração do polinômio interpolador será:
Essa é a fórmula de Newton-Cotes fechada de grau 4.

Passo 6

Para obter as fórmulas repetidas, que servem para intervalos maiores dividindo-o em subintervalos menores, multiplicamos o resultado da fórmula simples pelo número de subintervalos. Isso aumenta a precisão da integração.

Passo 7

Assim, a fórmula repetida para o grau 3 fica:
integrala^b f(x) , dx approx b - a8n [ sumi=0^n f(xi) + 3sumi=1^n-1 f(xi) ]
E para o grau 4:
integrala^b f(x) , dx approx b - a90n [ 7sumi=0^n f(xi) + 32sumi=1,3,5,dots^n-1 f(xi) + 12sumi=2,6,10,dots^n-2 f(xi) ]

Resposta

As fórmulas de Newton-Cotes fechadas deduzidas são:
Para grau 3:
integrala^b f(x) , dx approx b - a8 [ f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3) ]
E sua versão repetida:
integrala^b f(x) , dx approx b - a8n [ sumi=0^n f(xi) + 3sumi=1^n-1 f(xi) ]
Para grau 4:
integrala^b f(x) , dx approx b - a90 [ 7f(x0) + 32f(x1) + 12f(x2) + 32f(x3) + 7f(x4) ]
E sua versão repetida:
integrala^b f(x) , dx approx b - a90n [ 7sumi=0^n f(xi) + 32sumi=1,3,5,dots^n-1 f(xi) + 12sumi=2,6,10,dots^n-2 f(xi) ]

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