Deduza as fórmulas de integração de Newton-Cotes do tipo fechado quando o integrando
é interpolado por polinômios de grau 3 e grau 4 . Obtenha também as fórmulas repetidas para esses dois casos.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos deduzir as fórmulas de integração de Newton-Cotes do tipo fechado para quando o integrando
é interpolado por polinômios de grau 3 e grau 4. Além disso, devemos obter as versões repetidas dessas fórmulas. Para isso, vamos precisar conhecer os conceitos de interpolação polinomial e as fórmulas de Newton-Cotes.
Passo 2
Vamos começar lembrando que as fórmulas de Newton-Cotes são métodos para aproximar integrais definidas. No caso de fórmulas fechadas, usamos pontos que incluem as extremidades do intervalo de integração. Isso significa que, para um intervalo
, usaremos os pontos
,
,
, …,
.
Passo 3
Para deduzir a fórmula quando o polinômio é de grau 3, precisamos interpolar
através de um polinômio cúbico que passa por 4 pontos (já que um polinômio de grau
passa por
pontos). Vamos escolher equidistantes
no intervalo
.
Passo 4
A integração do polinômio interpolador nos pontos escolhidos pode ser escrita como:
Essa é a fórmula de Newton-Cotes fechada de grau 3.
Passo 5
Agora, para o caso do polinômio de grau 4, precisamos de 5 pontos
igualmente espaçados no intervalo
. A integração do polinômio interpolador será:
Essa é a fórmula de Newton-Cotes fechada de grau 4.
Passo 6
Para obter as fórmulas repetidas, que servem para intervalos maiores dividindo-o em subintervalos menores, multiplicamos o resultado da fórmula simples pelo número de subintervalos. Isso aumenta a precisão da integração.
Passo 7
Assim, a fórmula repetida para o grau 3 fica:
E para o grau 4:
Resposta
As fórmulas de Newton-Cotes fechadas deduzidas são:
Para grau 3:
E sua versão repetida:
Para grau 4:
E sua versão repetida:
Exercícios relacionados
Seja
uma função definida no intervalo
. Se
for um polinômio de grau 3, qual será o erro que ocorrerá se integrarmos essa função via Regra
de Simpson Repetida? Justifique sua resposta.
Classifique cada uma das equações diferenciais ( linear; não-linear; coeficientes constantes ou variáveis; ordem; grau; homogênea ou não homogênea);
Considere o problema de calcular a integral
e considere dois métodos de integração para obter uma aproximação para essa integral:
(a) Aplicar a RTR com divisões ou;
(b) Aplicar a RSR com divisões.
Qual regra irá fornecer uma aproximação mais precisa ? Justifique sua resposta.
(a) Aplicar a RTR com
(b) Aplicar a RSR com
Qual regra irá fornecer uma aproximação mais precisa ? Justifique sua resposta.
Considere a seguinte integral
e determine o número de divisões necessárias para e obter uma aproximação com 5 casas decimais de precisão utilizando a Regra de Boole. Essa regra é uma fórmula de Newton-Cotes do tipo fechado onde o integrando é interpolado por um polinômio de grau 4 no intervalo de integração.