Seja
uma função definida no intervalo
. Se
for um polinômio de grau 3, qual será o erro que ocorrerá se integrarmos essa função via Regra
de Simpson Repetida? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, então vamos lá! O exercício fala sobre integrar uma função
que é um polinômio de terceiro grau, ou seja, tem a forma
, no intervalo de
. A gente vai usar a Regra 1/3 de Simpson Repetida para fazer essa integração. Para resolver, vamos precisar entender como essa regra funciona e qual o erro esperado quando a função é um polinômio de grau 3.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra 1/3 de Simpson. É um método de integração numérica que aproxima a área sob a curva de uma função usando parábolas. Para aplicar essa regra, geralmente dividimos o intervalo de integração em um número par de subintervalos e aplicamos a fórmula de Simpson em cada par.
Passo 3
Agora, sobre o erro na Regra de Simpson. O erro dessa regra está relacionado à quarta derivada da função que estamos integrando. A fórmula do erro é:
onde
é o comprimento do intervalo,
é o número de subintervalos, e
é a quarta derivada da função em algum ponto
no intervalo.
Passo 4
No nosso caso,
é um polinômio de grau 3. Vamos pensar: qual é a quarta derivada de um polinômio de terceiro grau? Bem, derivando uma vez, temos um polinômio de grau 2; derivando de novo, grau 1; mais uma vez, grau 0 (constante); e a quarta derivada de uma constante é zero.
Passo 5
Então,
para todo
. Substituindo isso na fórmula do erro:
Resposta
O erro ao integrar a função
, que é um polinômio de grau 3, usando a Regra 1/3 de Simpson Repetida no intervalo
é zero.