Seja f(x) uma função definida no intervalo [-2,2]. Se f(x) for um polinômio de grau 3, qual será o erro que ocorrerá se integrarmos essa função via Regra 1 / 3 de Simpson Repetida? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, então vamos lá! O exercício fala sobre integrar uma função que é um polinômio de terceiro grau, ou seja, tem a forma , no intervalo de . A gente vai usar a Regra 1/3 de Simpson Repetida para fazer essa integração. Para resolver, vamos precisar entender como essa regra funciona e qual o erro esperado quando a função é um polinômio de grau 3.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra 1/3 de Simpson. É um método de integração numérica que aproxima a área sob a curva de uma função usando parábolas. Para aplicar essa regra, geralmente dividimos o intervalo de integração em um número par de subintervalos e aplicamos a fórmula de Simpson em cada par.

Passo 3

Agora, sobre o erro na Regra de Simpson. O erro dessa regra está relacionado à quarta derivada da função que estamos integrando. A fórmula do erro é:
E = -(b - a)^5180n^4 f^(4)(xi)
onde é o comprimento do intervalo, é o número de subintervalos, e é a quarta derivada da função em algum ponto no intervalo.

Passo 4

No nosso caso, é um polinômio de grau 3. Vamos pensar: qual é a quarta derivada de um polinômio de terceiro grau? Bem, derivando uma vez, temos um polinômio de grau 2; derivando de novo, grau 1; mais uma vez, grau 0 (constante); e a quarta derivada de uma constante é zero.

Passo 5

Então, E = -(b - a)^5180n^4 times 0 = 0 para todo . Substituindo isso na fórmula do erro:

Resposta

O erro ao integrar a função , que é um polinômio de grau 3, usando a Regra 1/3 de Simpson Repetida no intervalo é zero.

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