Ajuste os dados dessa tabela por um polinômio de grau 2 e por um polinômio de grau 3. Calcule os resíduos para cada ajuste. Trabalhe com 3 casas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma tabela de valores para e . O objetivo é ajustar esses dados usando dois tipos de polinômios: um de grau 2 e outro de grau 3. Além disso, precisamos calcular os resíduos de cada ajuste, ou seja, a diferença entre os valores reais de e os valores que nosso polinômio prevê. Para isso, vamos precisar entender como ajustar polinômios aos dados e calcular esses resíduos.
Passo 2
Primeiro, vamos ajustar um polinômio de grau 2 aos dados. Um polinômio de grau 2 tem a forma:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes , e que melhor se ajustam aos pontos dados.
Passo 3
Para encontrar , e , vamos montar um sistema de equações usando os pontos da tabela. Temos cinco pontos, então vamos usar três deles para formar o sistema:
Para , :
Para , :
Para , :
Passo 4
Agora que sabemos que , podemos substituir esse valor nas outras equações:
Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
Passo 5
Vamos resolver o sistema:
Da segunda equação, podemos isolar :
Substituindo na primeira equação:
Agora, substituindo na expressão para :
Passo 6
Então, os coeficientes do polinômio de grau 2 são:
Portanto, o polinômio ajustado é:
Passo 7
Agora, vamos ajustar um polinômio de grau 3 aos mesmos dados. Um polinômio de grau 3 tem a forma:
Precisamos encontrar os coeficientes , , e que melhor se ajustam aos pontos.
Passo 8
Com quatro coeficientes e cinco pontos, podemos montar um sistema de quatro equações:
Para , :
Para , :
Para , :
Para , :
Passo 9
Sabemos que . Vamos substituir esse valor nas outras equações:
Agora temos um sistema com três equações:
Passo 10
Vamos resolver o sistema. Primeiro, da segunda e terceira equações:
Somando as duas equações:
Passo 11
Agora que temos , substituímos na terceira equação:
E na segunda equação:
Isso confirma que .
Passo 12
Agora, vamos usar a primeira equação original:
Lembrando que , podemos multiplicar essa equação por 2:
Agora, somamos com a equação anterior:
Substituindo na equação :
Passo 13
Então, os coeficientes do polinômio de grau 3 são:
Portanto, o polinômio ajustado é:
Passo 14
Agora, vamos calcular os resíduos para cada ajuste. O resíduo em cada ponto é a diferença entre o valor real de e o valor previsto pelo polinômio.
Para o polinômio de grau 2:
í
Para o polinômio de grau 3:
í
Passo 15
Vamos calcular os resíduos para cada ponto:
Para :
í
í
Para :
í
í
Para :
í
í
Para :
í
í
Para :
í
í
Resposta
Os resíduos calculados para cada ajuste são:
Polinômio de grau 2:
:
:
:
:
:
Polinômio de grau 3:
:
:
:
:
:
Todos os resíduos foram arredondados para três casas decimais.