Considere a tabela:
x -2 -1 0 1 2
f(x) -4 -1 1 0 2
Ajuste os dados dessa tabela por um polinômio de grau 2 e por um polinômio de grau 3. Calcule os resíduos para cada ajuste. Trabalhe com 3 casas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma tabela de valores para e . O objetivo é ajustar esses dados usando dois tipos de polinômios: um de grau 2 e outro de grau 3. Além disso, precisamos calcular os resíduos de cada ajuste, ou seja, a diferença entre os valores reais de e os valores que nosso polinômio prevê. Para isso, vamos precisar entender como ajustar polinômios aos dados e calcular esses resíduos.

Passo 2

Primeiro, vamos ajustar um polinômio de grau 2 aos dados. Um polinômio de grau 2 tem a forma:
P2(x) = a x^2 + b x + c
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes , e que melhor se ajustam aos pontos dados.

Passo 3

Para encontrar a(-2)^2 + b(-2) + c = -4 Rightarrow 4a - 2b + c = -4 , a(-1)^2 + b(-1) + c = -1 Rightarrow a - b + c = -1 e a(0)^2 + b(0) + c = 1 Rightarrow c = 1 , vamos montar um sistema de equações usando os pontos da tabela. Temos cinco pontos, então vamos usar três deles para formar o sistema:
  1. Para , :
  1. Para , :
  1. Para , :

Passo 4

Agora que sabemos que 4a - 2b = -5 a - b = -2 , podemos substituir esse valor nas outras equações:
Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:

Passo 5

Vamos resolver o sistema:
Da segunda equação, podemos isolar a = b - 2 :
4(b - 2) - 2b = -5 4b - 8 - 2b = -5 2b - 8 = -5 2b = 3 b = 32
Substituindo na primeira equação:
a = 32 - 2 = -12
Agora, substituindo na expressão para :

Passo 6

Então, os coeficientes do polinômio de grau 2 são:
a = -12, b = 32, c = 1
Portanto, o polinômio ajustado é:
P2(x) = -12x^2 + 32x + 1

Passo 7

Agora, vamos ajustar um polinômio de grau 3 aos mesmos dados. Um polinômio de grau 3 tem a forma:
P3(x) = d x^3 + e x^2 + f x + g
Precisamos encontrar os coeficientes , , e que melhor se ajustam aos pontos.

Passo 8

Com quatro coeficientes e cinco pontos, podemos montar um sistema de quatro equações:
  1. Para -8d + 4e - 2f + g = -4 , -d + e - f + g = -1 :
g = 1
  1. Para d + e + f + g = 0 , :
  1. Para , :
  1. Para , :

Passo 9

Sabemos que -8d + 4e - 2f = -5 -d + e - f = -2 d + e + f = -1 . Vamos substituir esse valor nas outras equações:
Agora temos um sistema com três equações:

Passo 10

Vamos resolver o sistema. Primeiro, da segunda e terceira equações:
  1. (-d + e - f) + (d + e + f) = -2 + (-1) 2e = -3 e = -32
Somando as duas equações:

Passo 11

Agora que temos d + (-32) + f = -1 d + f = 12 , substituímos na terceira equação:
-d + (-32) - f = -2 -d - 32 - f = -2 -d - f = -12 d + f = 12
E na segunda equação:
Isso confirma que .

Passo 12

Agora, vamos usar a primeira equação original:
-8d + 4(-32) - 2f = -5 -8d - 6 - 2f = -5 -8d - 2f = 1
Lembrando que 2d + 2f = 1 , podemos multiplicar essa equação por 2:
(-8d - 2f) + (2d + 2f) = 1 + 1 -6d = 2 d = -13
Agora, somamos com a equação anterior:
-13 + f = 12 f = 12 + 13 = 56
Substituindo na equação :

Passo 13

Então, os coeficientes do polinômio de grau 3 são:
d = -13, e = -32, f = 56, g = 1
Portanto, o polinômio ajustado é:
P3(x) = -13x^3 - 32x^2 + 56x + 1

Passo 14

Agora, vamos calcular os resíduos para cada ajuste. O resíduo em cada ponto é a diferença entre o valor real de Resíduo = f(x) - P2(x) e o valor previsto pelo polinômio.
Para o polinômio de grau 2:
Resíduo = f(x) - P3(x) í
Para o polinômio de grau 3:
í

Passo 15

Vamos calcular os resíduos para cada ponto:
Para P2(-2) = -12(-2)^2 + 32(-2) + 1 = -2 - 3 + 1 = -4 :
Resíduo2 = -4 - (-4) = 0
P3(-2) = -13(-2)^3 - 32(-2)^2 + 56(-2) + 1 = 83 - 6 - 106 + 1 = 83 - 6 - 53 + 1 = -4 í
Resíduo3 = -4 - (-4) = 0
P2(-1) = -12(-1)^2 + 32(-1) + 1 = -12 - 32 + 1 = -2 + 1 = -1 í
Para Resíduo2 = -1 - (-1) = 0 :
P3(-1) = -13(-1)^3 - 32(-1)^2 + 56(-1) + 1 = 13 - 32 - 56 + 1 = 13 - 32 - 56 + 1 = -1
Resíduo3 = -1 - (-1) = 0 í
P2(0) = -12(0)^2 + 32(0) + 1 = 0 + 0 + 1 = 1
Resíduo2 = 1 - 1 = 0 í
Para P3(0) = -13(0)^3 - 32(0)^2 + 56(0) + 1 = 0 + 0 + 0 + 1 = 1 :
Resíduo3 = 1 - 1 = 0
P2(1) = -12(1)^2 + 32(1) + 1 = -12 + 32 + 1 = 2 í
Resíduo2 = 0 - 2 = -2
P3(1) = -13(1)^3 - 32(1)^2 + 56(1) + 1 = -13 - 32 + 56 + 1 = -13 - 32 + 56 + 1 = -1 í
Para Resíduo3 = 0 - (-1) = 1 :
P2(2) = -12(2)^2 + 32(2) + 1 = -2 + 3 + 1 = 2
Resíduo2 = 2 - 2 = 0 í
P3(2) = -13(2)^3 - 32(2)^2 + 56(2) + 1 = -83 - 6 + 106 + 1 = -83 - 6 + 53 + 1 = -33 - 6 + 1 = -1 - 6 + 1 = -6
Resíduo3 = 2 - (-6) = 8 í
Para :
í
í

Resposta

Os resíduos calculados para cada ajuste são:
Polinômio de grau 2:
  • :
  • :
  • :
  • :
  • :
Polinômio de grau 3:
  • :
  • :
  • :
  • :
  • :
Todos os resíduos foram arredondados para três casas decimais.

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