Considere a tabela:
-2 -1 0 1 2
-4 -1 1 0 2
Ajuste os dados dessa tabela por um polinômio de grau 2 e por um polinômio de grau 3. Calcule os resíduos para cada ajuste. Trabalhe com 3 casas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma tabela de valores para e . O objetivo é ajustar esses dados usando dois tipos de polinômios: um de grau 2 e outro de grau 3. Além disso, precisamos calcular os resíduos de cada ajuste, ou seja, a diferença entre os valores reais de e os valores que nosso polinômio prevê. Para isso, vamos precisar entender como ajustar polinômios aos dados e calcular esses resíduos.

Passo 2

Primeiro, vamos ajustar um polinômio de grau 2 aos dados. Um polinômio de grau 2 tem a forma:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes , e que melhor se ajustam aos pontos dados.

Passo 3

Para encontrar , e , vamos montar um sistema de equações usando os pontos da tabela. Temos cinco pontos, então vamos usar três deles para formar o sistema:
  1. Para , :
  1. Para , :
  1. Para , :

Passo 4

Agora que sabemos que , podemos substituir esse valor nas outras equações:
Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:

Passo 5

Vamos resolver o sistema:
Da segunda equação, podemos isolar :
Substituindo na primeira equação:
Agora, substituindo na expressão para :

Passo 6

Então, os coeficientes do polinômio de grau 2 são:
Portanto, o polinômio ajustado é:

Passo 7

Agora, vamos ajustar um polinômio de grau 3 aos mesmos dados. Um polinômio de grau 3 tem a forma:
Precisamos encontrar os coeficientes , , e que melhor se ajustam aos pontos.

Passo 8

Com quatro coeficientes e cinco pontos, podemos montar um sistema de quatro equações:
  1. Para , :
  1. Para , :
  1. Para , :
  1. Para , :

Passo 9

Sabemos que . Vamos substituir esse valor nas outras equações:
Agora temos um sistema com três equações:

Passo 10

Vamos resolver o sistema. Primeiro, da segunda e terceira equações:
Somando as duas equações:

Passo 11

Agora que temos , substituímos na terceira equação:
E na segunda equação:
Isso confirma que .

Passo 12

Agora, vamos usar a primeira equação original:
Lembrando que , podemos multiplicar essa equação por 2:
Agora, somamos com a equação anterior:
Substituindo na equação :

Passo 13

Então, os coeficientes do polinômio de grau 3 são:
Portanto, o polinômio ajustado é:

Passo 14

Agora, vamos calcular os resíduos para cada ajuste. O resíduo em cada ponto é a diferença entre o valor real de e o valor previsto pelo polinômio.
Para o polinômio de grau 2:
í
Para o polinômio de grau 3:
í

Passo 15

Vamos calcular os resíduos para cada ponto:
Para :
í
í
Para :
í
í
Para :
í
í
Para :
í
í
Para :
í
í

Resposta

Os resíduos calculados para cada ajuste são:
Polinômio de grau 2:
  • :
  • :
  • :
  • :
  • :
Polinômio de grau 3:
  • :
  • :
  • :
  • :
  • :
Todos os resíduos foram arredondados para três casas decimais.

Exercícios relacionados

Considere a tabela:
3.8 7.0 9.5 11.3 17.5 31.5 45.5 64.0 95.0
10.0 12.5 13.5 14.0 15.0 16.0 16.5 17.0 17.5
Por qual das funções
você ajustaria os dados dessa tabela ? Justifique sua resposta e faça o ajuste usando a função escolhida. Trabalhe com 3 casas.
Considere os valores funcionais dados na tabela abaixo e determine as seguintes aproximações para :

  • Compare as aproximações usando como parâmetro a soma do quadrado dos resíduos, o qual é dado por:
onde são os valores de da tabela e a função de ajuste obtido pelo Método dos Mínimos Quadrados.
0.5 1.0 2.0 4.0 5.0
15 12 5 2 1
Trabalhe com 4 casas decimais.
Considere o problema de calcular a integral
Ajuste o integrando por um polinômio de grau 3. Para obter esse polinômio, divida o intervalo de integração em 5 partes iguais sendo , e monte uma tabela com os valores do integrando nesses 5 pontos, considerando 3 casas decimais. Para resolver o sistema linear do problema, utilize o Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial. Calcule uma aproximação para a integral da função integrando o polinômio obtido. Trabalhe com 3 casas decimais.
-1 1
e responda:
(a) Qual é o grau máximo do polinômio que interpola a função dada na tabela? Justifique sua resposta.
(b) Obtenha o polinômio que interpola a função dada na tabela lembrando que o valores que o polinômio e sua derivada tem que assumir nos pontos tabelados tem que coincidir.