Ajuste os dados dessa tabela por um polinômio de grau 2 e por um polinômio de grau 3. Calcule os resíduos para cada ajuste. Trabalhe com 3 casas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma tabela de valores para e . O objetivo é ajustar esses dados usando dois tipos de polinômios: um de grau 2 e outro de grau 3. Além disso, precisamos calcular os resíduos de cada ajuste, ou seja, a diferença entre os valores reais de e os valores que nosso polinômio prevê. Para isso, vamos precisar entender como ajustar polinômios aos dados e calcular esses resíduos.
Passo 2
Primeiro, vamos ajustar um polinômio de grau 2 aos dados. Um polinômio de grau 2 tem a forma:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes , e que melhor se ajustam aos pontos dados.
Passo 3
Para encontrar , e , vamos montar um sistema de equações usando os pontos da tabela. Temos cinco pontos, então vamos usar três deles para formar o sistema:
Para , :
Para , :
Para , :
Passo 4
Agora que sabemos que , podemos substituir esse valor nas outras equações:
Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
Passo 5
Vamos resolver o sistema:
Da segunda equação, podemos isolar :
Substituindo na primeira equação:
Agora, substituindo na expressão para :
Passo 6
Então, os coeficientes do polinômio de grau 2 são:
Portanto, o polinômio ajustado é:
Passo 7
Agora, vamos ajustar um polinômio de grau 3 aos mesmos dados. Um polinômio de grau 3 tem a forma:
Precisamos encontrar os coeficientes , , e que melhor se ajustam aos pontos.
Passo 8
Com quatro coeficientes e cinco pontos, podemos montar um sistema de quatro equações:
Para , :
Para , :
Para , :
Para , :
Passo 9
Sabemos que . Vamos substituir esse valor nas outras equações:
Agora temos um sistema com três equações:
Passo 10
Vamos resolver o sistema. Primeiro, da segunda e terceira equações:
(-d + e - f) + (d + e + f) = -2 + (-1) 2e = -3 e = -32
Somando as duas equações:
Passo 11
Agora que temos d + (-32) + f = -1 d + f = 12 , substituímos na terceira equação:
-d + (-32) - f = -2 -d - 32 - f = -2 -d - f = -12 d + f = 12
Lembrando que 2d + 2f = 1 , podemos multiplicar essa equação por 2:
(-8d - 2f) + (2d + 2f) = 1 + 1 -6d = 2 d = -13
Agora, somamos com a equação anterior:
-13 + f = 12 f = 12 + 13 = 56
Substituindo na equação :
Passo 13
Então, os coeficientes do polinômio de grau 3 são:
d = -13, e = -32, f = 56, g = 1
Portanto, o polinômio ajustado é:
P3(x) = -13x^3 - 32x^2 + 56x + 1
Passo 14
Agora, vamos calcular os resíduos para cada ajuste. O resíduo em cada ponto é a diferença entre o valor real de Resíduo = f(x) - P2(x) e o valor previsto pelo polinômio.