Considere a tabela:
t 3.8 7.0 9.5 11.3 17.5 31.5 45.5 64.0 95.0
y(t) 10.0 12.5 13.5 14.0 15.0 16.0 16.5 17.0 17.5
Por qual das funções
y1(t)=ta+b t ou y2(t)=a b^t
você ajustaria os dados dessa tabela ? Justifique sua resposta e faça o ajuste usando a função escolhida. Trabalhe com 3 casas.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma tabela com valores de t e y(t), e precisamos decidir qual das duas funções se ajusta melhor a esses dados:
y1(t)=ta+b t ou y2(t)=a b^t
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de ajuste de curvas e regressão não linear. Vamos verificar qual função modela melhor os dados e, então, calcular os parâmetros a e b para a função escolhida.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as duas funções:
  1. Função y1(t)=ta+b t: Essa é uma função racional onde o crescimento de y em relação a t é moderado por a e b. É útil para dados que aumentam e depois se estabilizam.
  2. Função y2(t)=a b^t: Essa é uma função exponencial onde y cresce ou decresce de forma contínua, dependendo de b. É adequada para dados que crescem ou decrescem de forma acelerada.
Vamos olhar para os dados fornecidos para ver qual comportamento eles apresentam.

Passo 3

Observando a tabela:
t 3.8 7.0 9.5 11.3 17.5 31.5 45.5 64.0 95.0
y(t) 10.0 12.5 13.5 14.0 15.0 16.0 16.5 17.0 17.5
Vemos que y(t) aumenta com t, mas essa taxa de crescimento está diminuindo, aproximando-se de um valor limite. Isso sugere que o crescimento está se estabilizando, que é característico de uma função racional como y1(t).

Passo 4

Agora, vamos ajustar os dados à função y1(t)=ta+b t. Para isso, precisamos determinar os parâmetros a e b que melhor se ajustam aos dados. Vamos usar o método dos mínimos quadrados para encontrar esses parâmetros.
Primeiro, rearranjamos a equação para facilitar a linearização:
y1(t) = ta + b t implies a y1(t) + b t y1(t) = t
Isso pode ser reescrito como:
a y(t) + b t y(t) = t
Vamos definir:
z = t
x1 = y(t)
x2 = t y(t)
Assim, temos uma equação linear:
a x1 + b x2 = z
Podemos escrever isso para todos os dados e resolver o sistema de equações resultante.

Passo 5

Calculando os valores de x1, x2 e z para cada par (t, y(t)):
t y(t) x1 = y(t) x2 = t y(t) z = t
3.8 10.0 10.0 38.0 3.8
7.0 12.5 12.5 87.5 7.0
9.5 13.5 13.5 128.25 9.5
11.3 14.0 14.0 158.2 11.3
17.5 15.0 15.0 262.5 17.5
31.5 16.0 16.0 504.0 31.5
45.5 16.5 16.5 750.75 45.5
64.0 17.0 17.0 1088.0 64.0
95.0 17.5 17.5 1662.5 95.0
Vamos agora calcular as somas necessárias para resolver o sistema:
sum x1^2 = sum y(t)^2
sum x1 x2 = sum y(t) cdot t y(t)
sum x1 z = sum y(t) cdot t
sum x2^2 = sum (t y(t))^2
sum x2 z = sum t y(t) cdot t
sum z^2 = sum t^2

Passo 6

Calculando essas somas:
sum y(t)^2 = 10.0^2 + 12.5^2 + 13.5^2 + 14.0^2 + 15.0^2 + 16.0^2 + 16.5^2 + 17.0^2 + 17.5^2 = 100 + 156.25 + 182.25 + 196 + 225 + 256 + 272.25 + 289 + 306.25 = 1982
sum y(t) cdot t y(t) = 10 cdot 38 + 12.5 cdot 87.5 + 13.5 cdot 128.25 + 14 cdot 158.2 + 15 cdot 262.5 + 16 cdot 504 + 16.5 cdot 750.75 + 17 cdot 1088 + 17.5 cdot 1662.5 = 380 + 1093.75 + 1731.375 + 2215.8 + 3937.5 + 8064 + 12388.875 + 18504 + 29093.75 = 77728.25
sum y(t) cdot t = 10 cdot 3.8 + 12.5 cdot 7.0 + 13.5 cdot 9.5 + 14 cdot 11.3 + 15 cdot 17.5 + 16 cdot 31.5 + 16.5 cdot 45.5 + 17 cdot 64.0 + 17.5 cdot 95.0 = 38 + 87.5 + 128.25 + 158.2 + 262.5 + 504 + 750.75 + 1088 + 1662.5 = 5570.2
sum (t y(t))^2 = 38^2 + 87.5^2 + 128.25^2 + 158.2^2 + 262.5^2 + 504^2 + 750.75^2 + 1088^2 + 1662.5^2 = 1444 + 7656.25 + 16441.56 + 25028.84 + 68906.25 + 254016 + 563627.56 + 1183744 + 2765625 = 5126020.46
sum t y(t) cdot t = 38 cdot 3.8 + 87.5 cdot 7.0 + 128.25 cdot 9.5 + 158.2 cdot 11.3 + 262.5 cdot 17.5 + 504 cdot 31.5 + 750.75 cdot 45.5 + 1088 cdot 64.0 + 1662.5 cdot 95.0 = 144.4 + 612.5 + 1217.375 + 1788.66 + 4593.75 + 15876 + 34185.375 + 69632 + 157993.75 = 283551.05
sum t^2 = 3.8^2 + 7.0^2 + 9.5^2 + 11.3^2 + 17.5^2 + 31.5^2 + 45.5^2 + 64.0^2 + 95.0^2 = 14.44 + 49 + 90.25 + 127.69 + 306.25 + 992.25 + 2070.25 + 4096 + 9025 = 16660.88

Passo 7

Agora, montamos o sistema de equações usando as somas calculadas:
a cdot 1982 + b cdot 77728.25 = 5570.2
a cdot 77728.25 + b cdot 5126020.46 = 283551.05
Vamos resolver esse sistema para encontrar a e b.

Passo 8

Podemos resolver o sistema usando métodos de álgebra linear, como substituição ou eliminação. Aqui, vamos usar a regra de Cramer para encontrar a e b.
Calculamos o determinante do sistema:
D = 1982 & 77728.25 77728.25 & 5126020.46 = 1982 cdot 5126020.46 - 77728.25 cdot 77728.25
D = 10143009381.72 - 6033024126.06 = 4119985245.66
Calculamos Da substituindo a primeira coluna por os termos independentes:
Da = 5570.2 & 77728.25 283551.05 & 5126020.46 = 5570.2 cdot 5126020.46 - 77728.25 cdot 283551.05
Da = 28523325353.73 - 22029845552.66 = 6493489801.07
Calculamos Db substituindo a segunda coluna por os termos independentes:
Db = 1982 & 5570.2 77728.25 & 283551.05 = 1982 cdot 283551.05 - 5570.2 cdot 77728.25
Db = 561220244.1 - 432599820.65 = 128620423.45
Agora, encontramos a e b:
a = DaD = 6493489801.074119985245.66 approx 1.575
b = DbD = 128620423.454119985245.66 approx 0.0312

Resposta

A função escolhida para ajustar os dados é y1(t)=ta+b t, com os parâmetros a approx 1.575 e b approx 0.0312. Portanto, a função ajustada é:
y(t) = t1.575 + 0.0312 t

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