você ajustaria os dados dessa tabela ? Justifique sua resposta e faça o ajuste usando a função escolhida. Trabalhe com 3 casas.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma tabela com valores de e , e precisamos decidir qual das duas funções se ajusta melhor a esses dados:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de ajuste de curvas e regressão não linear. Vamos verificar qual função modela melhor os dados e, então, calcular os parâmetros e para a função escolhida.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as duas funções:
Função : Essa é uma função racional onde o crescimento de em relação a é moderado por e . É útil para dados que aumentam e depois se estabilizam.
Função : Essa é uma função exponencial onde cresce ou decresce de forma contínua, dependendo de . É adequada para dados que crescem ou decrescem de forma acelerada.
Vamos olhar para os dados fornecidos para ver qual comportamento eles apresentam.
Passo 3
Observando a tabela:
3.8
7.0
9.5
11.3
17.5
31.5
45.5
64.0
95.0
10.0
12.5
13.5
14.0
15.0
16.0
16.5
17.0
17.5
Vemos que aumenta com , mas essa taxa de crescimento está diminuindo, aproximando-se de um valor limite. Isso sugere que o crescimento está se estabilizando, que é característico de uma função racional como .
Passo 4
Agora, vamos ajustar os dados à função . Para isso, precisamos determinar os parâmetros e que melhor se ajustam aos dados. Vamos usar o método dos mínimos quadrados para encontrar esses parâmetros.
Primeiro, rearranjamos a equação para facilitar a linearização:
Isso pode ser reescrito como:
Vamos definir:
Assim, temos uma equação linear:
Podemos escrever isso para todos os dados e resolver o sistema de equações resultante.
Passo 5
Calculando os valores de , e para cada par :
3.8
10.0
10.0
38.0
3.8
7.0
12.5
12.5
87.5
7.0
9.5
13.5
13.5
128.25
9.5
11.3
14.0
14.0
158.2
11.3
17.5
15.0
15.0
262.5
17.5
31.5
16.0
16.0
504.0
31.5
45.5
16.5
16.5
750.75
45.5
64.0
17.0
17.0
1088.0
64.0
95.0
17.5
17.5
1662.5
95.0
Vamos agora calcular as somas necessárias para resolver o sistema:
Passo 6
Calculando essas somas:
Passo 7
Agora, montamos o sistema de equações usando as somas calculadas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .
Passo 8
Podemos resolver o sistema usando métodos de álgebra linear, como substituição ou eliminação. Aqui, vamos usar a regra de Cramer para encontrar e .
Calculamos o determinante do sistema:
D = 10143009381.72 - 6033024126.06 = 4119985245.66
Calculamos Da substituindo a primeira coluna por os termos independentes: