Considere a tabela:
| | 3.8 | 7.0 | 9.5 | 11.3 | 17.5 | 31.5 | 45.5 | 64.0 | 95.0 |
| :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| | 10.0 | 12.5 | 13.5 | 14.0 | 15.0 | 16.0 | 16.5 | 17.0 | 17.5 |
Por qual das funções
você ajustaria os dados dessa tabela ? Justifique sua resposta e faça o ajuste usando a função escolhida. Trabalhe com 3 casas.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma tabela com valores de e , e precisamos decidir qual das duas funções se ajusta melhor a esses dados:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de ajuste de curvas e regressão não linear. Vamos verificar qual função modela melhor os dados e, então, calcular os parâmetros e para a função escolhida.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as duas funções:
1. **Função **: Essa é uma função racional onde o crescimento de em relação a é moderado por e . É útil para dados que aumentam e depois se estabilizam.
2. **Função **: Essa é uma função exponencial onde cresce ou decresce de forma contínua, dependendo de . É adequada para dados que crescem ou decrescem de forma acelerada.
Vamos olhar para os dados fornecidos para ver qual comportamento eles apresentam.
Passo 3
Observando a tabela:
| | 3.8 | 7.0 | 9.5 | 11.3 | 17.5 | 31.5 | 45.5 | 64.0 | 95.0 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| | 10.0 | 12.5 | 13.5 | 14.0 | 15.0 | 16.0 | 16.5 | 17.0 | 17.5 |
Vemos que aumenta com , mas essa taxa de crescimento está diminuindo, aproximando-se de um valor limite. Isso sugere que o crescimento está se estabilizando, que é característico de uma função racional como .
Passo 4
Agora, vamos ajustar os dados à função . Para isso, precisamos determinar os parâmetros e que melhor se ajustam aos dados. Vamos usar o método dos mínimos quadrados para encontrar esses parâmetros.
Primeiro, rearranjamos a equação para facilitar a linearização:
Isso pode ser reescrito como:
Vamos definir:
Assim, temos uma equação linear:
Podemos escrever isso para todos os dados e resolver o sistema de equações resultante.
Agora, montamos o sistema de equações usando as somas calculadas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .
Passo 8
Podemos resolver o sistema usando métodos de álgebra linear, como substituição ou eliminação. Aqui, vamos usar a regra de Cramer para encontrar e .
Calculamos o determinante do sistema:
Calculamos substituindo a primeira coluna por os termos independentes:
Calculamos substituindo a segunda coluna por os termos independentes:
Agora, encontramos e :
Resposta
A função escolhida para ajustar os dados é , com os parâmetros e . Portanto, a função ajustada é: