Considere a tabela: | | 3.8 | 7.0 | 9.5 | 11.3 | 17.5 | 31.5 | 45.5 | 64.0 | 95.0 | | :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | | 10.0 | 12.5 | 13.5 | 14.0 | 15.0 | 16.0 | 16.5 | 17.0 | 17.5 | Por qual das funções você ajustaria os dados dessa tabela ? Justifique sua resposta e faça o ajuste usando a função escolhida. Trabalhe com 3 casas.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma tabela com valores de e , e precisamos decidir qual das duas funções se ajusta melhor a esses dados: Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de ajuste de curvas e regressão não linear. Vamos verificar qual função modela melhor os dados e, então, calcular os parâmetros e para a função escolhida.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as duas funções: 1. **Função **: Essa é uma função racional onde o crescimento de em relação a é moderado por e . É útil para dados que aumentam e depois se estabilizam. 2. **Função **: Essa é uma função exponencial onde cresce ou decresce de forma contínua, dependendo de . É adequada para dados que crescem ou decrescem de forma acelerada. Vamos olhar para os dados fornecidos para ver qual comportamento eles apresentam.

Passo 3

Observando a tabela: | | 3.8 | 7.0 | 9.5 | 11.3 | 17.5 | 31.5 | 45.5 | 64.0 | 95.0 | |---|---|---|---|---|---|---|---|---|---| | | 10.0 | 12.5 | 13.5 | 14.0 | 15.0 | 16.0 | 16.5 | 17.0 | 17.5 | Vemos que aumenta com , mas essa taxa de crescimento está diminuindo, aproximando-se de um valor limite. Isso sugere que o crescimento está se estabilizando, que é característico de uma função racional como .

Passo 4

Agora, vamos ajustar os dados à função . Para isso, precisamos determinar os parâmetros e que melhor se ajustam aos dados. Vamos usar o método dos mínimos quadrados para encontrar esses parâmetros. Primeiro, rearranjamos a equação para facilitar a linearização: Isso pode ser reescrito como: Vamos definir: Assim, temos uma equação linear: Podemos escrever isso para todos os dados e resolver o sistema de equações resultante.

Passo 5

Calculando os valores de , e para cada par : | | | | | | |---|---|---|---|---| | 3.8 | 10.0 | 10.0 | 38.0 | 3.8 | | 7.0 | 12.5 | 12.5 | 87.5 | 7.0 | | 9.5 | 13.5 | 13.5 | 128.25 | 9.5 | | 11.3 | 14.0 | 14.0 | 158.2 | 11.3 | | 17.5 | 15.0 | 15.0 | 262.5 | 17.5 | | 31.5 | 16.0 | 16.0 | 504.0 | 31.5 | | 45.5 | 16.5 | 16.5 | 750.75 | 45.5 | | 64.0 | 17.0 | 17.0 | 1088.0 | 64.0 | | 95.0 | 17.5 | 17.5 | 1662.5 | 95.0 | Vamos agora calcular as somas necessárias para resolver o sistema:

Passo 6

Calculando essas somas:

Passo 7

Agora, montamos o sistema de equações usando as somas calculadas: Vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 8

Podemos resolver o sistema usando métodos de álgebra linear, como substituição ou eliminação. Aqui, vamos usar a regra de Cramer para encontrar e . Calculamos o determinante do sistema: Calculamos substituindo a primeira coluna por os termos independentes: Calculamos substituindo a segunda coluna por os termos independentes: Agora, encontramos e :

Resposta

A função escolhida para ajustar os dados é , com os parâmetros e . Portanto, a função ajustada é:

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