(1.5) Considere o problema de determinar o ponto sobre o gráfico de y=f(x) que está mais próximo do ponto (1,0). Explique como o método de Newton pode ser usado para resolver o problema e, considerando x0=0.5, faça uma iteração do método para estimar x1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o ponto no gráfico de que está mais próximo do ponto . Para resolver isso, vamos usar o Método de Newton, que é uma técnica iterativa para encontrar raízes de funções. Precisamos entender como minimizar a distância entre os pontos, o que envolve um pouco de cálculo, como derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na distância entre dois pontos no plano. A distância D(x) = raiz(x - 1)^2 + (f(x))^2 entre um ponto genérico D^2(x) = (x - 1)^2 + (f(x))^2 no gráfico de e o ponto é dada pela fórmula:
Mas para facilitar, vamos minimizar o quadrado dessa distância, pois a função quadrática é mais simples de derivar:

Passo 3

Para encontrar o ponto mais próximo, precisamos minimizar ddxD^2(x) = 2(x - 1) + 2f(x)f'(x) = 0 . Para isso, vamos derivar (x - 1) + f(x)f'(x) = 0 em relação a e igualar a zero:
Simplificando:
Essa é a equação que precisamos resolver para encontrar o valor de que minimiza a distância.

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Método de Newton para resolver a equação x1 = x0 - g(x0)g'(x0) . A fórmula do Método de Newton é:
Onde é a estimativa inicial e é a derivada de em relação a .

Passo 5

Vamos calcular g(x) = (x - 1) + f(x)f'(x) e g'(x) = 1 + f'(x)^2 + f(x)f''(x) :
Derivando em relação a :

Passo 6

Com x1 = 0.5 - (0.5 - 1) + f(0.5)f'(0.5)1 + [f'(0.5)]^2 + f(0.5)f''(0.5) , substituímos na fórmula:

Resposta

Após fazer a substituição e calcular os valores de , e , teremos a estimativa do ponto mais próximo. Como os valores específicos de não foram fornecidos, não é possível calcular um valor numérico exato aqui. Contudo, seguindo os passos acima com a função conhecida, você poderá encontrar .

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