(1.5) Considere o problema de determinar o ponto sobre o gráfico de
que está mais próximo do ponto
. Explique como o método de Newton pode ser usado para resolver o problema e, considerando
, faça uma iteração do método para estimar
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o ponto no gráfico de
que está mais próximo do ponto
. Para resolver isso, vamos usar o Método de Newton, que é uma técnica iterativa para encontrar raízes de funções. Precisamos entender como minimizar a distância entre os pontos, o que envolve um pouco de cálculo, como derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na distância entre dois pontos no plano. A distância
entre um ponto genérico
no gráfico de
e o ponto
é dada pela fórmula:
Mas para facilitar, vamos minimizar o quadrado dessa distância, pois a função quadrática é mais simples de derivar:
Passo 3
Para encontrar o ponto mais próximo, precisamos minimizar
. Para isso, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero:
Simplificando:
Essa é a equação que precisamos resolver para encontrar o valor de
que minimiza a distância.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o Método de Newton para resolver a equação
. A fórmula do Método de Newton é:
Onde
é a estimativa inicial e
é a derivada de
em relação a
.
Passo 5
Vamos calcular
e
:
Derivando
em relação a
:
Passo 6
Com
, substituímos na fórmula:
Resposta
Após fazer a substituição e calcular os valores de
,
e
, teremos a estimativa
do ponto mais próximo. Como os valores específicos de
não foram fornecidos, não é possível calcular um valor numérico exato aqui. Contudo, seguindo os passos acima com a função
conhecida, você poderá encontrar
.