Considere o problema de encontrar um zero de uma função
no intervalo
com precisão
pelo método da bissecção. Determine o mínimo de iterações que serão realizadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o zero de uma função
no intervalo
usando o método da bissecção, com uma precisão de
. Isso está relacionado ao conteúdo de métodos numéricos, especificamente o método da bissecção, que é usado para encontrar raízes de funções de forma iterativa. Para resolver, vamos precisar entender como o método da bissecção reduz o intervalo a cada iteração até alcançar a precisão desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como funciona o método da bissecção. Esse método divide o intervalo inicial em duas partes iguais a cada iteração e seleciona a subintervalo que contém a raiz, continuando esse processo até que o tamanho do intervalo seja menor ou igual à precisão desejada
.
A fórmula para determinar o número mínimo de iterações
necessárias para alcançar a precisão é:
Onde:
-
é o intervalo inicial. -
é a precisão desejada. -
é o logaritmo na base 10.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula aos valores do nosso problema. Temos:
- Intervalo inicial
, então . - Precisão
.
Substituindo na fórmula:
Passo 4
Calculando os logaritmos:
Substituindo esses valores:
Passo 5
Como o número de iterações
precisa ser inteiro, arredondamos para cima. Portanto, o mínimo de iterações necessárias é 7.
Resposta
O mínimo de iterações que serão realizadas é 7.
Exercícios relacionados
Considere que a raiz quadrada do número 7 está no intervalo [2,3], encontre-a usando o método da bisseção com precisão
.
Seja
e
. Dado que o intervalo inicial é
, encontre o zero desta função, neste intervalo, pelo o método de Newton com precisão
.
Usando o método da bissecção, determine uma raiz das equações com a precisão
:
c)
c)
As raízes de
podem ser determinadas usando o MPF
Considerando os processo iterativos:
a)
Usando o critério de convergência do método do ponto fixo, analise os processos interativos dados e verifique qual deles possui convergência para as raízes da equação e, a partir de uma solução inicial dada, determine as raízes.
Considerando os processo iterativos:
a)
Usando o critério de convergência do método do ponto fixo, analise os processos interativos dados e verifique qual deles possui convergência para as raízes da equação e, a partir de uma solução inicial dada, determine as raízes.