Considere o problema de encontrar um zero de uma função f(x) no intervalo [0,1] com precisão epsilon1=epsilon2=0,01 pelo método da bissecção. Determine o mínimo de iterações que serão realizadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o zero de uma função no intervalo usando o método da bissecção, com uma precisão de . Isso está relacionado ao conteúdo de métodos numéricos, especificamente o método da bissecção, que é usado para encontrar raízes de funções de forma iterativa. Para resolver, vamos precisar entender como o método da bissecção reduz o intervalo a cada iteração até alcançar a precisão desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como funciona o método da bissecção. Esse método divide o intervalo inicial em duas partes iguais a cada iteração e seleciona a subintervalo que contém a raiz, continuando esse processo até que o tamanho do intervalo seja menor ou igual à precisão desejada n >= log(b - a) - log epsilonlog 2 .
A fórmula para determinar o número mínimo de iterações necessárias para alcançar a precisão é:
Onde:
  • é o intervalo inicial.
  • é a precisão desejada.
  • é o logaritmo na base 10.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula aos valores do nosso problema. Temos:
  • Intervalo inicial n >= log(1) - log(0,01)log 2 , então .
  • Precisão .
Substituindo na fórmula:

Passo 4

Calculando os logaritmos:
log(1) = 0
log(0,01) = -2
log 2 approx 0,3010
Substituindo esses valores:
n >= 0 - (-2)0,3010 = 20,3010 approx 6,644

Passo 5

Como o número de iterações precisa ser inteiro, arredondamos para cima. Portanto, o mínimo de iterações necessárias é 7.

Resposta

O mínimo de iterações que serão realizadas é 7.

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