Considere o problema de encontrar um zero de uma função no intervalo com precisão pelo método da bissecção. Determine o mínimo de iterações que serão realizadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o zero de uma função no intervalo usando o método da bissecção, com uma precisão de . Isso está relacionado ao conteúdo de métodos numéricos, especificamente o método da bissecção, que é usado para encontrar raízes de funções de forma iterativa. Para resolver, vamos precisar entender como o método da bissecção reduz o intervalo a cada iteração até alcançar a precisão desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como funciona o método da bissecção. Esse método divide o intervalo inicial em duas partes iguais a cada iteração e seleciona a subintervalo que contém a raiz, continuando esse processo até que o tamanho do intervalo seja menor ou igual à precisão desejada .
A fórmula para determinar o número mínimo de iterações necessárias para alcançar a precisão é:
Onde:
  • é o intervalo inicial.
  • é a precisão desejada.
  • é o logaritmo na base 10.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula aos valores do nosso problema. Temos:
  • Intervalo inicial , então .
  • Precisão .
Substituindo na fórmula:

Passo 4

Calculando os logaritmos:
Substituindo esses valores:

Passo 5

Como o número de iterações precisa ser inteiro, arredondamos para cima. Portanto, o mínimo de iterações necessárias é 7.

Resposta

O mínimo de iterações que serão realizadas é 7.

Exercícios relacionados

Considere que a raiz quadrada do número 7 está no intervalo [2,3], encontre-a usando o método da bisseção com precisão .
Seja e . Dado que o intervalo inicial é , encontre o zero desta função, neste intervalo, pelo o método de Newton com precisão .
Usando o método da bissecção, determine uma raiz das equações com a precisão :
c)
As raízes de podem ser determinadas usando o MPF
Considerando os processo iterativos:
a)
Usando o critério de convergência do método do ponto fixo, analise os processos interativos dados e verifique qual deles possui convergência para as raízes da equação e, a partir de uma solução inicial dada, determine as raízes.