As raízes de podem ser determinadas usando o MPF
Considerando os processo iterativos:
a)
Usando o critério de convergência do método do ponto fixo, analise os processos interativos dados e verifique qual deles possui convergência para as raízes da equação e, a partir de uma solução inicial dada, determine as raízes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa encontrar as raízes dela usando o Método do Ponto Fixo (MPF). Para isso, vamos precisar entender como funciona o MPF, verificar se o processo iterativo dado (nesse caso, ) converge para a raiz e, por fim, aplicar o método a partir de um chute inicial para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Método do Ponto Fixo. Esse método consiste em reescrever a equação na forma e então usar uma sequência de iterações para aproximar a raiz. A ideia é que, se a função satisfizer certos critérios, a sequência vai convergir para a solução desejada.

Passo 3

Agora, vamos analisar o critério de convergência do MPF. Para que o método funcione, a derivada da função em torno da raiz deve satisfazer . Isso garante que, próximo da raiz, as iterações se aproximem cada vez mais dela.
Vamos calcular a derivada de :
Para que , precisamos que:
Então, o MPF vai convergir se escolhermos uma aproximação inicial tal que .

Passo 4

Vamos escolher um chute inicial , que satisfaz . Agora, aplicamos o processo iterativo:
Vamos continuar esse processo até que a diferença entre e seja bem pequena.

Passo 5

Continuando as iterações:
Percebemos que os valores estão se estabilizando em torno de 3,148.

Resposta

A raiz da equação encontrada usando o Método do Ponto Fixo é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Usando o método da bissecção, determine uma raiz das equações com a precisão :
c)
Considere o problema de encontrar um zero de uma função no intervalo com precisão pelo método da bissecção. Determine o mínimo de iterações que serão realizadas.
Seja . Dado que o intervalo inicial é , encontre o zero desta função, neste intervalo, pelo o método da secante com precisões e .
Obtenha a raiz quadrada do número 7, usando o método de Newton com precisão .