As raízes de f(x)=ln (x)-x+2=0 podem ser determinadas usando o MPF
Considerando os processo iterativos:
a) xi+1=varphi(xi)=2+ln (xi)
Usando o critério de convergência do método do ponto fixo, analise os processos interativos dados e verifique qual deles possui convergência para as raízes da equação e, a partir de uma solução inicial dada, determine as raízes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa encontrar as raízes dela usando o Método do Ponto Fixo (MPF). Para isso, vamos precisar entender como funciona o MPF, verificar se o processo iterativo dado (nesse caso, ) converge para a raiz e, por fim, aplicar o método a partir de um chute inicial para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Método do Ponto Fixo. Esse método consiste em reescrever a equação na forma e então usar uma sequência de iterações para aproximar a raiz. A ideia é que, se a função satisfizer certos critérios, a sequência vai convergir para a solução desejada.

Passo 3

Agora, vamos analisar o critério de convergência do MPF. Para que o método funcione, a derivada da função varphi'(x) = ddx [2 + ln(x)] = 1x em torno da raiz | 1x | < 1 implies |x| > 1 deve satisfazer . Isso garante que, próximo da raiz, as iterações se aproximem cada vez mais dela.
Vamos calcular a derivada de :
Para que , precisamos que:
Então, o MPF vai convergir se escolhermos uma aproximação inicial tal que .

Passo 4

Vamos escolher um chute inicial x1 = varphi(x0) = 2 + ln(2) approx 2 + 0,6931 = 2,6931 , que satisfaz x2 = varphi(x1) = 2 + ln(2,6931) approx 2 + 0,993 = 2,993 . Agora, aplicamos o processo iterativo:
x3 = varphi(x2) = 2 + ln(2,993) approx 2 + 1,096 = 3,096
Vamos continuar esse processo até que a diferença entre e seja bem pequena.

Passo 5

Continuando as iterações:
x4 = 2 + ln(3,096) approx 2 + 1,129 = 3,129
x5 = 2 + ln(3,129) approx 2 + 1,140 = 3,140
x6 = 2 + ln(3,140) approx 2 + 1,146 = 3,146
x7 = 2 + ln(3,146) approx 2 + 1,148 = 3,148
Percebemos que os valores estão se estabilizando em torno de 3,148.

Resposta

A raiz da equação encontrada usando o Método do Ponto Fixo é aproximadamente .

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