As raízes de podem ser determinadas usando o MPF
Considerando os processo iterativos:
a)
Usando o critério de convergência do método do ponto fixo, analise os processos interativos dados e verifique qual deles possui convergência para as raízes da equação e, a partir de uma solução inicial dada, determine as raízes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa encontrar as raízes dela usando o Método do Ponto Fixo (MPF). Para isso, vamos precisar entender como funciona o MPF, verificar se o processo iterativo dado (nesse caso, ) converge para a raiz e, por fim, aplicar o método a partir de um chute inicial para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Método do Ponto Fixo. Esse método consiste em reescrever a equação na forma e então usar uma sequência de iterações para aproximar a raiz. A ideia é que, se a função satisfizer certos critérios, a sequência vai convergir para a solução desejada.
Passo 3
Agora, vamos analisar o critério de convergência do MPF. Para que o método funcione, a derivada da função em torno da raiz deve satisfazer . Isso garante que, próximo da raiz, as iterações se aproximem cada vez mais dela.
Vamos calcular a derivada de :
Para que , precisamos que:
Então, o MPF vai convergir se escolhermos uma aproximação inicial tal que .
Passo 4
Vamos escolher um chute inicial , que satisfaz . Agora, aplicamos o processo iterativo:
Vamos continuar esse processo até que a diferença entre e seja bem pequena.
Passo 5
Continuando as iterações:
Percebemos que os valores estão se estabilizando em torno de 3,148.
Resposta
A raiz da equação encontrada usando o Método do Ponto Fixo é aproximadamente .