Usando o método da bissecção, determine uma raiz das equações com a precisão epsilon1=epsilon2=0,0001 :
c) f(x)=ln (x)-sen(x)=0

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o método da bissecção para encontrar uma raiz da equação com uma precisão de . O método da bissecção é uma técnica numérica que ajuda a encontrar raízes de funções contínuas dividindo repetidamente um intervalo onde a função muda de sinal. Vamos precisar identificar um intervalo inicial onde e têm sinais opostos e, então, aplicar o método passo a passo até alcançar a precisão desejada.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar um intervalo f(1) = ln(1) - sin(1) = 0 - 0,8415 approx -0,8415 onde a função f(2) = ln(2) - sin(2) approx 0,6931 - 0,9093 approx -0,2162 muda de sinal, ou seja, onde f(3) = ln(3) - sin(3) approx 1,0986 - 0,1411 approx 0,9575 e têm sinais diferentes. Isso garante, pelo Teorema do Valor Intermediário, que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Vamos testar alguns valores:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Vemos que é negativo e é positivo. Então, o intervalo inicial será .

Passo 3

Agora, calculamos o ponto médio c = a + b2 = 2 + 32 = 2,5 do intervalo f(2,5) = ln(2,5) - sin(2,5) approx 0,9163 - 0,5985 approx 0,3178 :
Vamos avaliar a função em :
Como , a raiz está no intervalo porque e .

Passo 4

Atualizamos o intervalo para c = 2 + 2,52 = 2,25 .
Calculamos o novo ponto médio:
f(2,25) = ln(2,25) - sin(2,25) approx 0,8109 - 0,7781 approx 0,0328
Avaliação da função:
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 5

Atualizamos o intervalo para c = 2 + 2,252 = 2,125 .
Calculamos o novo ponto médio:
f(2,125) = ln(2,125) - sin(2,125) approx 0,7541 - 0,8415 approx -0,0874
Avaliação da função:
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 6

Atualizamos o intervalo para c = 2,125 + 2,252 = 2,1875 .
Calculamos o novo ponto médio:
f(2,1875) = ln(2,1875) - sin(2,1875) approx 0,7845 - 0,8177 approx -0,0332
Avaliação da função:
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 7

Atualizamos o intervalo para c = 2,1875 + 2,252 = 2,21875 .
Calculamos o novo ponto médio:
f(2,21875) = ln(2,21875) - sin(2,21875) approx 0,7967 - 0,8004 approx -0,0037
Avaliação da função:
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 8

Atualizamos o intervalo para c = 2,21875 + 2,252 = 2,234375 .
Calculamos o novo ponto médio:
f(2,234375) = ln(2,234375) - sin(2,234375) approx 0,8031 - 0,7855 approx 0,0176
Avaliação da função:
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 9

Atualizamos o intervalo para c = 2,21875 + 2,2343752 = 2,2265625 .
Calculamos o novo ponto médio:
f(2,2265625) = ln(2,2265625) - sin(2,2265625) approx 0,7995 - 0,7939 approx 0,0056
Avaliação da função:
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 10

Atualizamos o intervalo para c = 2,21875 + 2,22656252 = 2,22265625 .
Calculamos o novo ponto médio:
f(2,22265625) = ln(2,22265625) - sin(2,22265625) approx 0,7981 - 0,7977 approx 0,0004
Avaliação da função:
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 11

Atualizamos o intervalo para c = 2,21875 + 2,222656252 = 2,220703125 .
Calculamos o novo ponto médio:
f(2,220703125) = ln(2,220703125) - sin(2,220703125) approx 0,7976 - 0,7970 approx 0,0006
Avaliação da função:
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 12

Atualizamos o intervalo para c = 2,21875 + 2,2207031252 = 2,2197265625 .
Calculamos o novo ponto médio:
f(2,2197265625) = ln(2,2197265625) - sin(2,2197265625) approx 0,7970 - 0,7969 approx 0,0001
Avaliação da função:
Como e a precisão desejada é , podemos parar aqui.

Resposta

A raiz da equação encontrada pelo método da bissecção com precisão de é aproximadamente .

Exercícios relacionados