Usando o método da bissecção, determine uma raiz das equações com a precisão :
c)

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o método da bissecção para encontrar uma raiz da equação com uma precisão de . O método da bissecção é uma técnica numérica que ajuda a encontrar raízes de funções contínuas dividindo repetidamente um intervalo onde a função muda de sinal. Vamos precisar identificar um intervalo inicial onde e têm sinais opostos e, então, aplicar o método passo a passo até alcançar a precisão desejada.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar um intervalo onde a função muda de sinal, ou seja, onde e têm sinais diferentes. Isso garante, pelo Teorema do Valor Intermediário, que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Vamos testar alguns valores:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Vemos que é negativo e é positivo. Então, o intervalo inicial será .

Passo 3

Agora, calculamos o ponto médio do intervalo :
Vamos avaliar a função em :
Como , a raiz está no intervalo porque e .

Passo 4

Atualizamos o intervalo para .
Calculamos o novo ponto médio:
Avaliação da função:
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 5

Atualizamos o intervalo para .
Calculamos o novo ponto médio:
Avaliação da função:
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 6

Atualizamos o intervalo para .
Calculamos o novo ponto médio:
Avaliação da função:
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 7

Atualizamos o intervalo para .
Calculamos o novo ponto médio:
Avaliação da função:
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 8

Atualizamos o intervalo para .
Calculamos o novo ponto médio:
Avaliação da função:
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 9

Atualizamos o intervalo para .
Calculamos o novo ponto médio:
Avaliação da função:
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 10

Atualizamos o intervalo para .
Calculamos o novo ponto médio:
Avaliação da função:
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 11

Atualizamos o intervalo para .
Calculamos o novo ponto médio:
Avaliação da função:
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 12

Atualizamos o intervalo para .
Calculamos o novo ponto médio:
Avaliação da função:
Como e a precisão desejada é , podemos parar aqui.

Resposta

A raiz da equação encontrada pelo método da bissecção com precisão de é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Considere o problema de encontrar um zero de uma função no intervalo com precisão pelo método da bissecção. Determine o mínimo de iterações que serão realizadas.
Considere que a raiz quadrada do número 7 está no intervalo [2,3], encontre-a usando o método da bisseção com precisão .
As raízes de podem ser determinadas usando o MPF
Considerando os processo iterativos:
a)
Usando o critério de convergência do método do ponto fixo, analise os processos interativos dados e verifique qual deles possui convergência para as raízes da equação e, a partir de uma solução inicial dada, determine as raízes.
Seja . Dado que o intervalo inicial é , encontre o zero desta função, neste intervalo, pelo o método da secante com precisões e .