Usando o método da bissecção, determine uma raiz das equações com a precisão
:
c)
c)
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o método da bissecção para encontrar uma raiz da equação
com uma precisão de
. O método da bissecção é uma técnica numérica que ajuda a encontrar raízes de funções contínuas dividindo repetidamente um intervalo onde a função muda de sinal. Vamos precisar identificar um intervalo inicial onde
e
têm sinais opostos e, então, aplicar o método passo a passo até alcançar a precisão desejada.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar um intervalo
onde a função
muda de sinal, ou seja, onde
e
têm sinais diferentes. Isso garante, pelo Teorema do Valor Intermediário, que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Vamos testar alguns valores:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Vemos que
é negativo e
é positivo. Então, o intervalo inicial será
.
Passo 3
Agora, calculamos o ponto médio
do intervalo
:
Vamos avaliar a função em
:
Como
, a raiz está no intervalo
porque
e
.
Passo 4
Atualizamos o intervalo para
.
Calculamos o novo ponto médio:
Avaliação da função:
Como
, a raiz está no intervalo
.
Passo 5
Atualizamos o intervalo para
.
Calculamos o novo ponto médio:
Avaliação da função:
Como
, a raiz está no intervalo
.
Passo 6
Atualizamos o intervalo para
.
Calculamos o novo ponto médio:
Avaliação da função:
Como
, a raiz está no intervalo
.
Passo 7
Atualizamos o intervalo para
.
Calculamos o novo ponto médio:
Avaliação da função:
Como
, a raiz está no intervalo
.
Passo 8
Atualizamos o intervalo para
.
Calculamos o novo ponto médio:
Avaliação da função:
Como
, a raiz está no intervalo
.
Passo 9
Atualizamos o intervalo para
.
Calculamos o novo ponto médio:
Avaliação da função:
Como
, a raiz está no intervalo
.
Passo 10
Atualizamos o intervalo para
.
Calculamos o novo ponto médio:
Avaliação da função:
Como
, a raiz está no intervalo
.
Passo 11
Atualizamos o intervalo para
.
Calculamos o novo ponto médio:
Avaliação da função:
Como
, a raiz está no intervalo
.
Passo 12
Atualizamos o intervalo para
.
Calculamos o novo ponto médio:
Avaliação da função:
Como
e a precisão desejada é
, podemos parar aqui.
Resposta
A raiz da equação
encontrada pelo método da bissecção com precisão de
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Considere o problema de encontrar um zero de uma função
no intervalo
com precisão
pelo método da bissecção. Determine o mínimo de iterações que serão realizadas.
Considere que a raiz quadrada do número 7 está no intervalo [2,3], encontre-a usando o método da bisseção com precisão
.
As raízes de
podem ser determinadas usando o MPF
Considerando os processo iterativos:
a)
Usando o critério de convergência do método do ponto fixo, analise os processos interativos dados e verifique qual deles possui convergência para as raízes da equação e, a partir de uma solução inicial dada, determine as raízes.
Considerando os processo iterativos:
a)
Usando o critério de convergência do método do ponto fixo, analise os processos interativos dados e verifique qual deles possui convergência para as raízes da equação e, a partir de uma solução inicial dada, determine as raízes.
Seja
. Dado que o intervalo inicial é
, encontre o zero desta função, neste intervalo, pelo o método da secante com precisões
e
.