Considere que a raiz quadrada do número 7 está no intervalo [2,3], encontre-a usando o método da bisseção com precisão
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre encontrar a raiz quadrada de 7 usando o método da bisseção. A gente sabe que
está no intervalo [2, 3]. O método da bisseção é uma técnica para encontrar raízes de funções dividindo repetidamente o intervalo ao meio até alcançar a precisão desejada. Para isso, vamos precisar calcular pontos médios, avaliar a função nesses pontos e ajustar o intervalo conforme necessário, até que a diferença entre os limites seja menor ou igual a
.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função que queremos encontrar a raiz. Neste caso, queremos que
, então podemos escrever a função como:
Queremos encontrar o valor de
que faz
.
Passo 3
Agora, vamos iniciar o método da bisseção com o intervalo inicial [a, b] = [2, 3]. O primeiro passo é calcular o ponto médio desse intervalo:
Passo 4
Vamos avaliar a função no ponto médio:
Como
, isso significa que a raiz está no intervalo [2,5, 3].
Passo 5
Agora, atualizamos o intervalo para [2,5, 3]. Calculamos o novo ponto médio:
Passo 6
Avaliamos a função no novo ponto médio:
Como
, a raiz está no intervalo [2,5, 2,75].
Passo 7
Atualizamos o intervalo para [2,5, 2,75]. Calculamos o próximo ponto médio:
Passo 8
Avaliamos a função nesse ponto:
Como
, a raiz está no intervalo [2,625, 2,75].
Passo 9
Atualizamos o intervalo para [2,625, 2,75]. Calculamos o ponto médio:
Passo 10
Avaliamos a função no ponto médio:
Como
, a raiz está no intervalo [2,625, 2,6875].
Passo 11
Atualizamos o intervalo para [2,625, 2,6875]. Calculamos o ponto médio:
Passo 12
Avaliamos a função nesse ponto:
Como
, a raiz está no intervalo [2,625, 2,65625].
Passo 13
Atualizamos o intervalo para [2,625, 2,65625]. Calculamos o ponto médio:
Passo 14
Avaliamos a função no ponto médio:
Como
, a raiz está no intervalo [2,640625, 2,65625].
Passo 15
Atualizamos o intervalo para [2,640625, 2,65625]. Calculamos o ponto médio:
Passo 16
Avaliamos a função nesse ponto:
Como
, a raiz está no intervalo [2,640625, 2,6484375].
Passo 17
Agora, a diferença entre os limites do intervalo é:
Como
, atingimos a precisão desejada. Podemos parar aqui.
Resposta
A raiz quadrada de 7, aproximada pelo método da bisseção com precisão de 0,01, é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Seja
e
. Dado que o intervalo inicial é
, encontre o zero desta função, neste intervalo, pelo o método de Newton com precisão
.
Usando o método de Newton, resolva as equações com precisão
:
b)
b)
Considere o problema de encontrar um zero de uma função
no intervalo
com precisão
pelo método da bissecção. Determine o mínimo de iterações que serão realizadas.
Usando o método da bissecção, determine uma raiz das equações com a precisão
:
c)
c)