Considere que a raiz quadrada do número 7 está no intervalo [2,3], encontre-a usando o método da bisseção com precisão .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre encontrar a raiz quadrada de 7 usando o método da bisseção. A gente sabe que está no intervalo [2, 3]. O método da bisseção é uma técnica para encontrar raízes de funções dividindo repetidamente o intervalo ao meio até alcançar a precisão desejada. Para isso, vamos precisar calcular pontos médios, avaliar a função nesses pontos e ajustar o intervalo conforme necessário, até que a diferença entre os limites seja menor ou igual a .

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função que queremos encontrar a raiz. Neste caso, queremos que , então podemos escrever a função como:
Queremos encontrar o valor de que faz .

Passo 3

Agora, vamos iniciar o método da bisseção com o intervalo inicial [a, b] = [2, 3]. O primeiro passo é calcular o ponto médio desse intervalo:

Passo 4

Vamos avaliar a função no ponto médio:
Como , isso significa que a raiz está no intervalo [2,5, 3].

Passo 5

Agora, atualizamos o intervalo para [2,5, 3]. Calculamos o novo ponto médio:

Passo 6

Avaliamos a função no novo ponto médio:
Como , a raiz está no intervalo [2,5, 2,75].

Passo 7

Atualizamos o intervalo para [2,5, 2,75]. Calculamos o próximo ponto médio:

Passo 8

Avaliamos a função nesse ponto:
Como , a raiz está no intervalo [2,625, 2,75].

Passo 9

Atualizamos o intervalo para [2,625, 2,75]. Calculamos o ponto médio:

Passo 10

Avaliamos a função no ponto médio:
Como , a raiz está no intervalo [2,625, 2,6875].

Passo 11

Atualizamos o intervalo para [2,625, 2,6875]. Calculamos o ponto médio:

Passo 12

Avaliamos a função nesse ponto:
Como , a raiz está no intervalo [2,625, 2,65625].

Passo 13

Atualizamos o intervalo para [2,625, 2,65625]. Calculamos o ponto médio:

Passo 14

Avaliamos a função no ponto médio:
Como , a raiz está no intervalo [2,640625, 2,65625].

Passo 15

Atualizamos o intervalo para [2,640625, 2,65625]. Calculamos o ponto médio:

Passo 16

Avaliamos a função nesse ponto:
Como , a raiz está no intervalo [2,640625, 2,6484375].

Passo 17

Agora, a diferença entre os limites do intervalo é:
Como , atingimos a precisão desejada. Podemos parar aqui.

Resposta

A raiz quadrada de 7, aproximada pelo método da bisseção com precisão de 0,01, é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Seja e . Dado que o intervalo inicial é , encontre o zero desta função, neste intervalo, pelo o método de Newton com precisão .
Usando o método de Newton, resolva as equações com precisão :
b)
Considere o problema de encontrar um zero de uma função no intervalo com precisão pelo método da bissecção. Determine o mínimo de iterações que serão realizadas.
Usando o método da bissecção, determine uma raiz das equações com a precisão :
c)