Considere que a raiz quadrada do número 7 está no intervalo [2,3], encontre-a usando o método da bisseção com precisão epsilon1=epsilon2=0,01.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre encontrar a raiz quadrada de 7 usando o método da bisseção. A gente sabe que raiz7 está no intervalo [2, 3]. O método da bisseção é uma técnica para encontrar raízes de funções dividindo repetidamente o intervalo ao meio até alcançar a precisão desejada. Para isso, vamos precisar calcular pontos médios, avaliar a função nesses pontos e ajustar o intervalo conforme necessário, até que a diferença entre os limites seja menor ou igual a epsilon1 = epsilon2 = 0,01.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função que queremos encontrar a raiz. Neste caso, queremos que x^2 = 7, então podemos escrever a função como:
f(x) = x^2 - 7
Queremos encontrar o valor de x que faz f(x) = 0.

Passo 3

Agora, vamos iniciar o método da bisseção com o intervalo inicial [a, b] = [2, 3]. O primeiro passo é calcular o ponto médio desse intervalo:
m = a + b2 = 2 + 32 = 2,5

Passo 4

Vamos avaliar a função no ponto médio:
f(2,5) = (2,5)^2 - 7 = 6,25 - 7 = -0,75
Como f(2,5) < 0, isso significa que a raiz está no intervalo [2,5, 3].

Passo 5

Agora, atualizamos o intervalo para [2,5, 3]. Calculamos o novo ponto médio:
m = 2,5 + 32 = 2,75

Passo 6

Avaliamos a função no novo ponto médio:
f(2,75) = (2,75)^2 - 7 = 7,5625 - 7 = 0,5625
Como f(2,75) > 0, a raiz está no intervalo [2,5, 2,75].

Passo 7

Atualizamos o intervalo para [2,5, 2,75]. Calculamos o próximo ponto médio:
m = 2,5 + 2,752 = 2,625

Passo 8

Avaliamos a função nesse ponto:
f(2,625) = (2,625)^2 - 7 = 6,890625 - 7 = -0,109375
Como f(2,625) < 0, a raiz está no intervalo [2,625, 2,75].

Passo 9

Atualizamos o intervalo para [2,625, 2,75]. Calculamos o ponto médio:
m = 2,625 + 2,752 = 2,6875

Passo 10

Avaliamos a função no ponto médio:
f(2,6875) = (2,6875)^2 - 7 = 7,220703125 - 7 = 0,220703125
Como f(2,6875) > 0, a raiz está no intervalo [2,625, 2,6875].

Passo 11

Atualizamos o intervalo para [2,625, 2,6875]. Calculamos o ponto médio:
m = 2,625 + 2,68752 = 2,65625

Passo 12

Avaliamos a função nesse ponto:
f(2,65625) = (2,65625)^2 - 7 = 7,044921875 - 7 = 0,044921875
Como f(2,65625) > 0, a raiz está no intervalo [2,625, 2,65625].

Passo 13

Atualizamos o intervalo para [2,625, 2,65625]. Calculamos o ponto médio:
m = 2,625 + 2,656252 = 2,640625

Passo 14

Avaliamos a função no ponto médio:
f(2,640625) = (2,640625)^2 - 7 = 6,96337890625 - 7 = -0,03662109375
Como f(2,640625) < 0, a raiz está no intervalo [2,640625, 2,65625].

Passo 15

Atualizamos o intervalo para [2,640625, 2,65625]. Calculamos o ponto médio:
m = 2,640625 + 2,656252 = 2,6484375

Passo 16

Avaliamos a função nesse ponto:
f(2,6484375) = (2,6484375)^2 - 7 = 7,000244140625 - 7 = 0,000244140625
Como f(2,6484375) > 0, a raiz está no intervalo [2,640625, 2,6484375].

Passo 17

Agora, a diferença entre os limites do intervalo é:
2,6484375 - 2,640625 = 0,0078125
Como 0,0078125 < 0,01, atingimos a precisão desejada. Podemos parar aqui.

Resposta

A raiz quadrada de 7, aproximada pelo método da bisseção com precisão de 0,01, é aproximadamente 2,6484375.

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