Seja f(x)=x^3-9 x+3 e x0=0,5. Dado que o intervalo inicial é I=[0,1], encontre o zero desta função, neste intervalo, pelo o método de Newton com precisão epsilon1=epsilon2=0.01.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função e queremos encontrar o zero dessa função, ou seja, o valor de que faz no intervalo . Para isso, vamos usar o Método de Newton, que é uma técnica para encontrar raízes de funções de forma iterativa. Vamos começar com um palpite inicial e vamos ajustar esse valor até chegar perto o suficiente da solução, com uma precisão de .

Passo 2

Primeiro, precisamos saber como funciona o Método de Newton. A ideia é simples: a gente começa com um valor inicial xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) e, usando a derivada da função, calculamos um novo valor que está mais perto do zero da função. A fórmula para isso é:
Aqui, é a derivada de . Então, vamos calcular a derivada da nossa função .

Passo 3

Calculando a derivada de f'(x) = 3x^2 - 9 :
Essa derivada nos ajuda a saber a inclinação da função naquele ponto, que é essencial para o Método de Newton.

Passo 4

Agora, vamos aplicar a fórmula do Método de Newton com nosso palpite inicial f(0,5) = (0,5)^3 - 9(0,5) + 3 = 0,125 - 4,5 + 3 = -1,375 .
Primeiro, calculamos f'(0,5) = 3(0,5)^2 - 9 = 3(0,25) - 9 = 0,75 - 9 = -8,25 :
x1 = 0,5 - -1,375-8,25 = 0,5 - 0,1667 approx 0,3333
Em seguida, calculamos :
Agora, aplicamos a fórmula do Método de Newton para encontrar :

Passo 5

Vamos repetir o processo com f(0,3333) = (0,3333)^3 - 9(0,3333) + 3 approx 0,037 - 3 + 3 = 0,037 . Calculamos f'(0,3333) = 3(0,3333)^2 - 9 approx 3(0,1111) - 9 = 0,3333 - 9 = -8,6667 :
x2 = 0,3333 - 0,037-8,6667 approx 0,3333 + 0,0043 = 0,3376
Calculamos :
Aplicando a fórmula novamente:

Passo 6

Vamos verificar se atingimos a precisão desejada. Calculamos a diferença entre |0,3376 - 0,3333| = 0,0043 < 0,01 e |f(0,3376)| approx |(0,3376)^3 - 9(0,3376) + 3| approx |0,038 - 3,038 + 3| approx |0| < 0,01 :
E também verificamos :
Como ambas as condições de precisão são satisfeitas ( ), podemos parar por aqui.

Resposta

O zero da função no intervalo encontrado pelo Método de Newton com a precisão desejada é aproximadamente .

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