Seja
e
. Dado que o intervalo inicial é
, encontre o zero desta função, neste intervalo, pelo o método de Newton com precisão
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função
e queremos encontrar o zero dessa função, ou seja, o valor de
que faz
no intervalo
. Para isso, vamos usar o Método de Newton, que é uma técnica para encontrar raízes de funções de forma iterativa. Vamos começar com um palpite inicial
e vamos ajustar esse valor até chegar perto o suficiente da solução, com uma precisão de
.
Passo 2
Primeiro, precisamos saber como funciona o Método de Newton. A ideia é simples: a gente começa com um valor inicial
e, usando a derivada da função, calculamos um novo valor
que está mais perto do zero da função. A fórmula para isso é:
Aqui,
é a derivada de
. Então, vamos calcular a derivada da nossa função
.
Passo 3
Calculando a derivada de
:
Essa derivada nos ajuda a saber a inclinação da função naquele ponto, que é essencial para o Método de Newton.
Passo 4
Agora, vamos aplicar a fórmula do Método de Newton com nosso palpite inicial
.
Primeiro, calculamos
:
Em seguida, calculamos
:
Agora, aplicamos a fórmula do Método de Newton para encontrar
:
Passo 5
Vamos repetir o processo com
. Calculamos
:
Calculamos
:
Aplicando a fórmula novamente:
Passo 6
Vamos verificar se atingimos a precisão desejada. Calculamos a diferença entre
e
:
E também verificamos
:
Como ambas as condições de precisão são satisfeitas (
), podemos parar por aqui.
Resposta
O zero da função
no intervalo
encontrado pelo Método de Newton com a precisão desejada é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Usando o método de Newton, resolva as equações com precisão
:
b)
b)
Utilizando o método da bisseção, refinar o intervalo que contém a raiz de
, considerando
como intervalo inicial. Considere o erro
para identificar o
de iterações.
Considere que a raiz quadrada do número 7 está no intervalo [2,3], encontre-a usando o método da bisseção com precisão
.
Considere o problema de encontrar um zero de uma função
no intervalo
com precisão
pelo método da bissecção. Determine o mínimo de iterações que serão realizadas.