Seja e . Dado que o intervalo inicial é , encontre o zero desta função, neste intervalo, pelo o método de Newton com precisão .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função e queremos encontrar o zero dessa função, ou seja, o valor de que faz no intervalo . Para isso, vamos usar o Método de Newton, que é uma técnica para encontrar raízes de funções de forma iterativa. Vamos começar com um palpite inicial e vamos ajustar esse valor até chegar perto o suficiente da solução, com uma precisão de .

Passo 2

Primeiro, precisamos saber como funciona o Método de Newton. A ideia é simples: a gente começa com um valor inicial e, usando a derivada da função, calculamos um novo valor que está mais perto do zero da função. A fórmula para isso é:
Aqui, é a derivada de . Então, vamos calcular a derivada da nossa função .

Passo 3

Calculando a derivada de :
Essa derivada nos ajuda a saber a inclinação da função naquele ponto, que é essencial para o Método de Newton.

Passo 4

Agora, vamos aplicar a fórmula do Método de Newton com nosso palpite inicial .
Primeiro, calculamos :
Em seguida, calculamos :
Agora, aplicamos a fórmula do Método de Newton para encontrar :

Passo 5

Vamos repetir o processo com . Calculamos :
Calculamos :
Aplicando a fórmula novamente:

Passo 6

Vamos verificar se atingimos a precisão desejada. Calculamos a diferença entre e :
E também verificamos :
Como ambas as condições de precisão são satisfeitas ( ), podemos parar por aqui.

Resposta

O zero da função no intervalo encontrado pelo Método de Newton com a precisão desejada é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Usando o método de Newton, resolva as equações com precisão :
b)
Utilizando o método da bisseção, refinar o intervalo que contém a raiz de , considerando como intervalo inicial. Considere o erro para identificar o de iterações.
Considere que a raiz quadrada do número 7 está no intervalo [2,3], encontre-a usando o método da bisseção com precisão .
Considere o problema de encontrar um zero de uma função no intervalo com precisão pelo método da bissecção. Determine o mínimo de iterações que serão realizadas.