Considere o problema da partícula na caixa unidimensional com as paredes localizadas em
e
. Mostre que as energias são iguais àquelas de uma caixa com paredes localizadas em 0 e
. Mostre também que, no entanto, as funções de onda não são as mesmas e nesse caso são dadas por
É relevante o fato de que as funções de onda parecem depender se as paredes estão localizadas em
ou 0 e
?
Você acha que as propriedades observadas experimentalmente dependem da escolha feita para a origem do eixo
?
Mostre que nesse caso também é verdade que
.
Você acha que as propriedades observadas experimentalmente dependem da escolha feita para a origem do eixo
Mostre que nesse caso também é verdade que
Passo 1
Vamos entender o problema que temos aqui. Estamos lidando com o problema da partícula na caixa unidimensional, que é uma situação clássica na mecânica quântica. O enunciado nos pede para comparar duas situações:
- Caixa simétrica: onde as paredes estão localizadas em
e . - Caixa deslocada: onde as paredes estão em
e .
Precisamos mostrar que as energias são as mesmas nas duas caixas, mas as funções de onda são diferentes. Além disso, devemos discutir se a localização das paredes afeta as propriedades observáveis e demonstrar que a incerteza no posicionamento (
) e no momento (
) satisfaz a relação
.
Para resolver isso, vamos precisar utilizar conceitos de funções de onda estacionárias, condições de contorno e a relação de incerteza de Heisenberg.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são determinadas as energias e as funções de onda para uma partícula em uma caixa unidimensional. As soluções dependem das condições de contorno, ou seja, as paredes da caixa impõem que a função de onda seja zero nessas posições.
Para uma caixa de comprimento
, as energias são dadas por:
onde
é um número inteiro positivo,
é a constante de Planck reduzida, e
é a massa da partícula.
As funções de onda são funções senoidais ou cossenoidais que satisfazem as condições de contorno.
Passo 3
Vamos comparar as duas caixas:
-
Caixa simétrica (
a ): O comprimento da caixa é . As condições de contorno impõem que e . As funções de onda serão senos que se ajustam nesse intervalo. -
Caixa deslocada (
a ): O comprimento da caixa também é . As condições de contorno são e . As funções de onda serão cossenos que se ajustam nesse intervalo.
Apesar das funções de onda serem diferentes devido ao deslocamento da caixa, a energia depende apenas do comprimento da caixa, que é o mesmo em ambas as situações. Portanto, as energias serão iguais para ambas as caixas.
Passo 4
Agora, vamos analisar as funções de onda:
-
Caixa simétrica (
a ): -
Caixa deslocada (
a ):
As funções de onda serão diferentes, pois agora o ponto de origem está em. As funções serão cossenos para as soluções pares e senos para as ímpares, mas a estrutura geral das energias permanece a mesma.
Isso mostra que, embora as energias sejam iguais, as funções de onda não são as mesmas devido à diferença na posição das paredes da caixa.
Passo 5
Sobre a relevância da localização das paredes: A escolha da origem do eixo
não afeta as propriedades observáveis do sistema, como as energias, que dependem apenas do comprimento da caixa. No entanto, as funções de onda parecem diferentes porque a posição das paredes altera a forma matemática das soluções, mas fisicamente descrevem o mesmo sistema.
Portanto, as propriedades experimentais observadas não dependem da escolha da origem do eixo
, mesmo que as funções de onda pareçam diferentes.
Passo 6
Finalmente, vamos mostrar que
para este caso. A relação de incerteza de Heisenberg nos diz que:
Para estados de energia estacionária, esta relação de incerteza é estritamente maior que
, porque a igualdade só ocorre para estados Gaussianos, que não são os casos das funções de onda na caixa.
Portanto, para as funções de onda dadas no problema, temos que:
Resposta
Concluímos que as energias da partícula na caixa são iguais para as caixas localizadas em
e
e em
e
. Entretanto, as funções de onda diferem devido à posição das paredes. A escolha da origem do eixo
não afeta as propriedades observáveis do sistema, e satisfazemos que
para este caso.