Considere o problema da partícula na caixa unidimensional com as paredes localizadas em -a e a. Mostre que as energias são iguais àquelas de uma caixa com paredes localizadas em 0 e 2 a. Mostre também que, no entanto, as funções de onda não são as mesmas e nesse caso são dadas por
& psin(x)=1a^1 / 2 sen n pi x2 a se n é par & psin(x)=1a^1 / 2 cos n pi x2 a se n é ímpar ééí
É relevante o fato de que as funções de onda parecem depender se as paredes estão localizadas em pm a ou 0 e 2 a ?
Você acha que as propriedades observadas experimentalmente dependem da escolha feita para a origem do eixo x ?
Mostre que nesse caso também é verdade que sigmax sigmap>hbar / 2.

Passo 1

Vamos entender o problema que temos aqui. Estamos lidando com o problema da partícula na caixa unidimensional, que é uma situação clássica na mecânica quântica. O enunciado nos pede para comparar duas situações:
  1. Caixa simétrica: onde as paredes estão localizadas em -a e a.
  2. Caixa deslocada: onde as paredes estão em 0 e 2a.
Precisamos mostrar que as energias são as mesmas nas duas caixas, mas as funções de onda são diferentes. Além disso, devemos discutir se a localização das paredes afeta as propriedades observáveis e demonstrar que a incerteza no posicionamento ( sigmax) e no momento ( sigmap) satisfaz a relação sigmax sigmap > hbar / 2.
Para resolver isso, vamos precisar utilizar conceitos de funções de onda estacionárias, condições de contorno e a relação de incerteza de Heisenberg.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são determinadas as energias e as funções de onda para uma partícula em uma caixa unidimensional. As soluções dependem das condições de contorno, ou seja, as paredes da caixa impõem que a função de onda seja zero nessas posições.
Para uma caixa de comprimento L, as energias são dadas por:
En = n^2 pi^2 hbar^22 m L^2
onde n é um número inteiro positivo, hbar é a constante de Planck reduzida, e m é a massa da partícula.
As funções de onda são funções senoidais ou cossenoidais que satisfazem as condições de contorno.

Passo 3

Vamos comparar as duas caixas:
  1. Caixa simétrica ( -a a a): O comprimento da caixa é 2a. As condições de contorno impõem que psi(-a) = 0 e psi(a) = 0. As funções de onda serão senos que se ajustam nesse intervalo.
  2. Caixa deslocada ( 0 a 2a): O comprimento da caixa também é 2a. As condições de contorno são psi(0) = 0 e psi(2a) = 0. As funções de onda serão cossenos que se ajustam nesse intervalo.
Apesar das funções de onda serem diferentes devido ao deslocamento da caixa, a energia depende apenas do comprimento da caixa, que é o mesmo em ambas as situações. Portanto, as energias serão iguais para ambas as caixas.

Passo 4

Agora, vamos analisar as funções de onda:
  • Caixa simétrica ( -a a a):
    psin(x)=1a^1 / 2 sin ( n pi x2 a ) se n é par é
    psin(x)=1a^1 / 2 cos ( n pi x2 a ) se n é ímpar éí
  • Caixa deslocada ( 0 a 2a):
    As funções de onda serão diferentes, pois agora o ponto de origem está em x=0. As funções serão cossenos para as soluções pares e senos para as ímpares, mas a estrutura geral das energias permanece a mesma.
Isso mostra que, embora as energias sejam iguais, as funções de onda não são as mesmas devido à diferença na posição das paredes da caixa.

Passo 5

Sobre a relevância da localização das paredes: A escolha da origem do eixo x não afeta as propriedades observáveis do sistema, como as energias, que dependem apenas do comprimento da caixa. No entanto, as funções de onda parecem diferentes porque a posição das paredes altera a forma matemática das soluções, mas fisicamente descrevem o mesmo sistema.
Portanto, as propriedades experimentais observadas não dependem da escolha da origem do eixo x, mesmo que as funções de onda pareçam diferentes.

Passo 6

Finalmente, vamos mostrar que sigmax sigmap > hbar / 2 para este caso. A relação de incerteza de Heisenberg nos diz que:
sigmax sigmap >= hbar2
Para estados de energia estacionária, esta relação de incerteza é estritamente maior que hbar / 2, porque a igualdade só ocorre para estados Gaussianos, que não são os casos das funções de onda na caixa.
Portanto, para as funções de onda dadas no problema, temos que:
sigmax sigmap > hbar2

Resposta

Concluímos que as energias da partícula na caixa são iguais para as caixas localizadas em -a e a e em 0 e 2a. Entretanto, as funções de onda diferem devido à posição das paredes. A escolha da origem do eixo x não afeta as propriedades observáveis do sistema, e satisfazemos que sigmax sigmap > hbar / 2 para este caso.

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