Interprete geometricamente e escreva um algoritmo para o Método da Falsa Posição
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede pra gente interpretar geometricamente e criar um algoritmo usando o Método da Falsa Posição. Isso está no campo dos métodos numéricos, mais especificamente, técnicas para encontrar raízes de funções. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender como o Método da Falsa Posição funciona e como traduzi-lo em um passo a passo, ou seja, um algoritmo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Método da Falsa Posição. Ele é usado pra encontrar as raízes de uma função, ou seja, os valores de
que fazem
. Geometricamente, imagine que você tem uma curva representando a função
e quer encontrar onde ela cruza o eixo
.
Passo 3
O Método da Falsa Posição começa escolhendo dois pontos
e
onde a função muda de sinal, ou seja,
e
têm sinais opostos. Isso indica, pelo Teorema de Bolzano, que existe pelo menos uma raiz entre
e
.
Passo 4
A ideia é desenhar uma linha reta (secante) que conecta os pontos
e
. O ponto onde essa linha cruza o eixo
é a nossa próxima aproximação para a raiz. Matematicamente, a interseção com o eixo
pode ser calculada usando a fórmula:
Passo 5
Depois de encontrar
, verificamos o sinal de
. Se
for próximo de zero dentro de uma tolerância aceitável, então
é a raiz que estamos procurando. Se não, substituímos
ou
por
, mantendo a condição de que
e
tenham sinais opostos, e repetimos o processo.
Passo 6
Esse processo iterativo continua até que a aproximação
seja suficientemente precisa, ou até que um número máximo de iterações seja alcançado. Isso garante que a gente chegue cada vez mais perto da verdadeira raiz da função.
Resposta
Aqui está um algoritmo básico para o Método da Falsa Posição:
Algoritmo Método da Falsa Posição
Entrada: Função f(x), intervalo [a, b], tolerância ε, número máximo de iterações N
Saída: Aproximação da raiz c
1. Verifique se f(a) * f(b) < 0. Se não, pare e informe que o método não pode ser aplicado.
2. Para i de 1 até N:
a. Calcule c = b - (f(b)*(b - a)) / (f(b) - f(a))
b. Se |f(c)| < ε, retorne c como raiz.
c. Se f(a) * f(c) < 0, então b = c
Senão, a = c
3. Se o método não convergiu dentro de N iterações, informe que não encontrou a raiz com a precisão desejada.
Esse algoritmo segue os passos que discutimos: começa com um intervalo onde a função muda de sinal, calcula a nova aproximação usando a fórmula da secante, verifica a precisão e ajusta o intervalo conforme necessário até encontrar a raiz ou atingir o número máximo de iterações.