Resolva fatorando a matriz A associada ao sistema como A=L U.
l x1+2 x2+3 x3=10 2 x1-4 x2+6 x3=18 3 x1-9 x2-3 x3=12

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de equações lineares e quer fatorar a matriz dos coeficientes em duas matrizes: (lower triangular) e (upper triangular), de forma que . Para isso, vamos usar o método de eliminação de Gauss para decompor a matriz passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz A = 1 & 2 & 3 2 & -4 & 6 3 & -9 & -3 do sistema:
O objetivo é transformar em uma matriz triangular superior usando operações de linha, e ao mesmo tempo construir a matriz triangular inferior com os fatores utilizados.

Passo 3

Vamos começar eliminando o elemento abaixo da primeira posição da primeira coluna. Para isso, multiplicamos a primeira linha por 2 e subtraímos da segunda linha:
L21 = 21 = 2
R2 = R2 - 2 times R1
Calculando:
R2 = 2 & -4 & 6 - 2 times 1 & 2 & 3 = 0 & -8 & 0
Agora, a matriz fica:
1 & 2 & 3 0 & -8 & 0 3 & -9 & -3

Passo 4

Em seguida, eliminamos o elemento abaixo da primeira posição da terceira linha. Multiplicamos a primeira linha por 3 e subtraímos da terceira linha:
L31 = 31 = 3
R3 = R3 - 3 times R1
Calculando:
R3 = 3 & -9 & -3 - 3 times 1 & 2 & 3 = 0 & -15 & -12
Agora, a matriz fica:
1 & 2 & 3 0 & -8 & 0 0 & -15 & -12

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna para transformar o elemento abaixo dela em zero. Multiplicamos a segunda linha por L32 = -15-8 = 158 e subtraímos da terceira linha:
R3 = R3 - 158 times R2
R3 = 0 & -15 & -12 - 158 times 0 & -8 & 0 = 0 & 0 & -12
Calculando:
U = 1 & 2 & 3 0 & -8 & 0 0 & 0 & -12
Agora, a matriz fica:

Passo 6

Com as operações realizadas, podemos construir a matriz L = 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 3 & 158 & 1 com os fatores utilizados:

Resposta

A fatoração da matriz A = L times U = 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 3 & 158 & 1 times 1 & 2 & 3 0 & -8 & 0 0 & 0 & -12 é:

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