Considere o PVI
Calcule
Usando o método de RK de ordem com .

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um problema de valor inicial (PVI) representado pela equação diferencial:
O objetivo é calcular o valor de usando o método de Runge-Kutta de 4ª ordem (RK4) com um passo . Para isso, vamos precisar transformar a equação diferencial de segunda ordem em um sistema de equações de primeira ordem e aplicar o método RK4 passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a equação diferencial de segunda ordem em um sistema de equações de primeira ordem. Para facilitar, vamos definir uma nova variável:
Com isso, nossa equação original fica:
Agora, isolamos :
Então, nosso sistema de equações fica:
Temos também as condições iniciais:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método de Runge-Kutta de 4ª ordem (RK4) para resolver esse sistema com um passo . O RK4 nos ajuda a aproximar a solução de equações diferenciais de uma forma mais precisa que métodos mais simples, como o de Euler.
As fórmulas do RK4 para um sistema de equações são:
Onde e .

Passo 4

Vamos calcular cada um dos para nosso sistema.
Valores iniciais:
Cálculo de :
Cálculo de :
Calculando os valores numéricos:
Cálculo de :
Calculando os valores numéricos:
Cálculo de :
Calculando os valores numéricos:

Passo 5

Agora, vamos juntar tudo para encontrar e :
Substituindo os valores:
Calculando cada componente:
Para :
Para :
Agora, dividimos por 6:
Então:

Resposta

Portanto, o valor aproximado de é:

Exercícios relacionados

Considere os PVI
Calcule para cada um dos problemas usando o método de Euler, o método de Euler modificado e o método RK de ordem usando o passo .
Determine a constante de Lipchitz para as seguintes funções .
Determine a constante de Lipchitz para as seguintes funções .
Considere o sistema de equações diferenciais para e :
Calcule usando o método de RK de ordem .