Considere o PVI
l 3 y^prime prime+4 y^prime+y=sin t e^-t y(0)=1 y^prime(0)=0
Calcule y(0,5)
Usando o método de RK de 4^a ordem com h=0,5.

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um problema de valor inicial (PVI) representado pela equação diferencial:
l 3 y'' + 4 y' + y = sin t , e^-t y(0) = 1 y'(0) = 0
O objetivo é calcular o valor de usando o método de Runge-Kutta de 4ª ordem (RK4) com um passo . Para isso, vamos precisar transformar a equação diferencial de segunda ordem em um sistema de equações de primeira ordem e aplicar o método RK4 passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a equação diferencial de segunda ordem em um sistema de equações de primeira ordem. Para facilitar, vamos definir uma nova variável:
z = y'
Com isso, nossa equação original fica:
3 z' + 4 z + y = sin t , e^-t
Agora, isolamos z' = sin t , e^-t - 4 z - y3 :
y' = z z' = sin t , e^-t - 4 z - y3
Então, nosso sistema de equações fica:
y(0) = 1 z(0) = 0
Temos também as condições iniciais:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método de Runge-Kutta de 4ª ordem (RK4) para resolver esse sistema com um passo k1 &= h cdot f(tn, yn) k2 &= h cdot f(tn + h2, yn + k12) k3 &= h cdot f(tn + h2, yn + k22) k4 &= h cdot f(tn + h, yn + k3) yn+1 &= yn + k1 + 2k2 + 2k3 + k46 . O RK4 nos ajuda a aproximar a solução de equações diferenciais de uma forma mais precisa que métodos mais simples, como o de Euler.
As fórmulas do RK4 para um sistema de equações y z são:
z sin t , e^-t - 4 z - y3
Onde e .

Passo 4

Vamos calcular cada um dos t0 = 0 y0 = 1 z0 = 0 h = 0,5 para nosso sistema.
Valores iniciais:
k1 = h cdot f(t0, y0) = 0,5 cdot z0 sin t0 , e^-t0 - 4 z0 - y03 = 0,5 cdot 0 0 - 0 - 13 = 0 -16
Cálculo de t1 = t0 + h2 = 0 + 0,25 = 0,25 y0 + k12 = 1 0 + 12 0 -16 = 1 -112 k2 = h cdot f(t1, y0 + k12) = 0,5 cdot -112 sin 0,25 , e^-0,25 - 4 cdot (-112) - 13 :
sin 0,25 approx 0,2474 e^-0,25 approx 0,7788 sin 0,25 , e^-0,25 approx 0,2474 times 0,7788 approx 0,1921 0,1921 + 412 - 13 = 0,1921 + 0,3333 - 13 = -0,47463 approx -0,1582 k2 = 0,5 cdot -112 -0,1582 = -124 -0,0791
Cálculo de y0 + k22 = 1 0 + 12 -124 -0,0791 = 1 - 148 -0,0396 approx 0,9792 -0,0396 k3 = h cdot f(t1, y0 + k22) = 0,5 cdot -0,0396 sin 0,25 , e^-0,25 - 4 cdot (-0,0396) - 0,97923 :
0,1921 + 0,1584 - 0,97923 = -0,62873 approx -0,2096 k3 = 0,5 cdot -0,0396 -0,2096 = -0,0198 -0,1048
Calculando os valores numéricos:
t2 = t0 + h = 0 + 0,5 = 0,5 y0 + k3 = 1 0 + -0,0198 -0,1048 = 0,9802 -0,1048 k4 = h cdot f(t2, y0 + k3) = 0,5 cdot -0,1048 sin 0,5 , e^-0,5 - 4 cdot (-0,1048) - 0,98023
Cálculo de sin 0,5 approx 0,4794 e^-0,5 approx 0,6065 sin 0,5 , e^-0,5 approx 0,4794 times 0,6065 approx 0,2907 0,2907 + 0,4192 - 0,98023 = -0,27033 approx -0,0901 k4 = 0,5 cdot -0,1048 -0,0901 = -0,0524 -0,0450 :
Calculando os valores numéricos:
Cálculo de :
Calculando os valores numéricos:

Passo 5

Agora, vamos juntar tudo para encontrar y1 = y0 + k1 + 2k2 + 2k3 + k46 e k1 + 2k2 + 2k3 + k4 = 0 -16 + 2 cdot -124 -0,0791 + 2 cdot -0,0198 -0,1048 + -0,0524 -0,0450 :
0 + 2 cdot (-124) + 2 cdot (-0,0198) + (-0,0524) approx 0 - 0,0833 - 0,0396 - 0,0524 approx -0,1753
Substituindo os valores:
-16 + 2 cdot (-0,0791) + 2 cdot (-0,1048) + (-0,0450) approx -0,1667 - 0,1582 - 0,2096 - 0,0450 approx -0,5795
Calculando cada componente:
Para -0,17536 approx -0,0292 -0,57956 approx -0,0966 :
y1 = 1 0 + -0,0292 -0,0966 = 0,9708 -0,0966
Para :
Agora, dividimos por 6:
Então:

Resposta

Portanto, o valor aproximado de y(0,5) approx 0,9708 é:

Exercícios relacionados