Calcule y(0,5)
Usando o método de RK de 4^a ordem com h=0,5.
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um problema de valor inicial (PVI) representado pela equação diferencial:
l 3 y'' + 4 y' + y = sin t , e^-t y(0) = 1 y'(0) = 0
O objetivo é calcular o valor de usando o método de Runge-Kutta de 4ª ordem (RK4) com um passo . Para isso, vamos precisar transformar a equação diferencial de segunda ordem em um sistema de equações de primeira ordem e aplicar o método RK4 passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a equação diferencial de segunda ordem em um sistema de equações de primeira ordem. Para facilitar, vamos definir uma nova variável:
z = y'
Com isso, nossa equação original fica:
3 z' + 4 z + y = sin t , e^-t
Agora, isolamos z' = sin t , e^-t - 4 z - y3 :
y' = z z' = sin t , e^-t - 4 z - y3
Então, nosso sistema de equações fica:
y(0) = 1 z(0) = 0
Temos também as condições iniciais:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método de Runge-Kutta de 4ª ordem (RK4) para resolver esse sistema com um passo k1 &= h cdot f(tn, yn) k2 &= h cdot f(tn + h2, yn + k12) k3 &= h cdot f(tn + h2, yn + k22) k4 &= h cdot f(tn + h, yn + k3) yn+1 &= yn + k1 + 2k2 + 2k3 + k46 . O RK4 nos ajuda a aproximar a solução de equações diferenciais de uma forma mais precisa que métodos mais simples, como o de Euler.
As fórmulas do RK4 para um sistema de equações y z são:
z sin t , e^-t - 4 z - y3
Onde e .
Passo 4
Vamos calcular cada um dos t0 = 0 y0 = 1 z0 = 0 h = 0,5 para nosso sistema.