Determine a constante de Lipchitz para as seguintes funções .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para determinar a constante de Lipschitz para a função . A matéria envolvida aqui é análise de equações diferenciais, especificamente as condições de existência e unicidade das soluções. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a constante de Lipschitz e como aplicá-la nessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a condição de Lipschitz. Basicamente, uma função satisfaz a condição de Lipschitz em se existe uma constante tal que, para quaisquer dois valores de :
Essa condição garante que a função não muda “rápido demais” em relação a , o que é crucial para garantir que as soluções das equações diferenciais sejam únicas.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função dada: . Perceba que não depende de , ou seja, é uma função somente de . Isso simplifica bastante as coisas!
Passo 4
Como não depende de , se considerarmos dois valores diferentes de , digamos e , temos:
Portanto:
Passo 5
Voltando à condição de Lipschitz:
Isso precisa ser válido para qualquer e . A única constante que satisfaz essa inequação para todos os valores de é .