Determine a constante de Lipchitz para as seguintes funções
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para determinar a constante de Lipschitz para a função
. A matéria envolvida aqui é análise de equações diferenciais, especificamente as condições de existência e unicidade das soluções. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a constante de Lipschitz e como aplicá-la nessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a condição de Lipschitz. Basicamente, uma função
satisfaz a condição de Lipschitz em
se existe uma constante
tal que, para quaisquer dois valores de
:
Essa condição garante que a função não muda “rápido demais” em relação a
, o que é crucial para garantir que as soluções das equações diferenciais sejam únicas.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função dada:
. Perceba que
não depende de
, ou seja,
é uma função somente de
. Isso simplifica bastante as coisas!
Passo 4
Como
não depende de
, se considerarmos dois valores diferentes de
, digamos
e
, temos:
Portanto:
Passo 5
Voltando à condição de Lipschitz:
Isso precisa ser válido para qualquer
e
. A única constante
que satisfaz essa inequação para todos os valores de
é
.
Resposta
A constante de Lipschitz para a função dada é
.