Determine a constante de Lipchitz para as seguintes funções .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para determinar a constante de Lipschitz para a função . A matéria envolvida aqui é análise de equações diferenciais, especificamente as condições de existência e unicidade das soluções. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a constante de Lipschitz e como aplicá-la nessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a condição de Lipschitz. Basicamente, uma função satisfaz a condição de Lipschitz em se existe uma constante tal que, para quaisquer dois valores de :
Essa condição garante que a função não muda “rápido demais” em relação a , o que é crucial para garantir que as soluções das equações diferenciais sejam únicas.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função dada: . Perceba que não depende de , ou seja, é uma função somente de . Isso simplifica bastante as coisas!

Passo 4

Como não depende de , se considerarmos dois valores diferentes de , digamos e , temos:
Portanto:

Passo 5

Voltando à condição de Lipschitz:
Isso precisa ser válido para qualquer e . A única constante que satisfaz essa inequação para todos os valores de é .

Resposta

A constante de Lipschitz para a função dada é .

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