Determine a constante de Lipchitz para as seguintes funções .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a constante de Lipschitz para a função , onde . Basicamente, a constante de Lipschitz nos ajuda a entender o quão “rápida” a função muda em relação a . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a condição de Lipschitz e como aplicá-la a essa função específica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser uma constante de Lipschitz. Dizemos que uma função é Lipschitz contínua em se existir uma constante tal que, para todos e para quaisquer valores e , a seguinte desigualdade vale:
Isso basicamente diz que a diferença na função não cresce mais rápido do que vezes a diferença entre e .
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa função . Primeiro, calculamos a diferença:
Passo 4
Comparando com a condi�o de Lipschitz, percebemos que:
Para que isso seja verdade para todo , precisamos que:
Passo 5
Como , o menor valor que pode assumir é 1. Portanto, o maior valor que pode ter é . Isso significa que a menor constante que satisfaz a condição de Lipschitz para toda é 2.