Determine a constante de Lipchitz para as seguintes funções .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a constante de Lipschitz para a função , onde . Basicamente, a constante de Lipschitz nos ajuda a entender o quão “rápida” a função muda em relação a . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a condição de Lipschitz e como aplicá-la a essa função específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser uma constante de Lipschitz. Dizemos que uma função é Lipschitz contínua em se existir uma constante tal que, para todos e para quaisquer valores e , a seguinte desigualdade vale:
Isso basicamente diz que a diferença na função não cresce mais rápido do que vezes a diferença entre e .

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa função . Primeiro, calculamos a diferença:

Passo 4

Comparando com a condi�o de Lipschitz, percebemos que:
Para que isso seja verdade para todo , precisamos que:

Passo 5

Como , o menor valor que pode assumir é 1. Portanto, o maior valor que pode ter é . Isso significa que a menor constante que satisfaz a condição de Lipschitz para toda é 2.

Resposta

A constante de Lipschitz para a função com é .

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Prove que
onde é qualquer permutação dos inteiros positivos .
Sejam . Mostre que existe um polinômio de grau tal que e se, e somente se, .
Considere os PVI
Calcule para cada um dos problemas usando o método de Euler, o método de Euler modificado e o método RK de ordem usando o passo .
Considere o PVI
Calcule
Usando o método de RK de ordem com .