Determine a constante de Lipchitz para as seguintes funções f(t, y)=2 y / t, t >= 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a constante de Lipschitz para a função , onde . Basicamente, a constante de Lipschitz nos ajuda a entender o quão “rápida” a função muda em relação a . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a condição de Lipschitz e como aplicá-la a essa função específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser uma constante de Lipschitz. Dizemos que uma função |f(t, y1) - f(t, y2)| <= L |y1 - y2| é Lipschitz contínua em se existir uma constante tal que, para todos e para quaisquer valores e , a seguinte desigualdade vale:
Isso basicamente diz que a diferença na função não cresce mais rápido do que vezes a diferença entre e .

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa função |f(t, y1) - f(t, y2)| = | 2y1t - 2y2t | = | 2(y1 - y2)t | = 2t |y1 - y2| . Primeiro, calculamos a diferença:

Passo 4

Comparando com a condi�o de Lipschitz, percebemos que:
2t |y1 - y2| <= L |y1 - y2|
Para que isso seja verdade para todo L >= 2t , precisamos que:

Passo 5

Como , o menor valor que pode assumir é 1. Portanto, o maior valor que pode ter é . Isso significa que a menor constante que satisfaz a condição de Lipschitz para toda é 2.

Resposta

A constante de Lipschitz para a função com é .

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