Considere o sistema de equações diferenciais para y(t) e z(t) :
l y^prime+t z=0 z^prime-y^2=0 y(0)=1 z(0)=1
Calcule (y, z)(t=0,2) usando o método de RK de 4^a ordem com h=0,1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando o Método de Runge-Kutta de 4ª ordem (RK4) com um passo . Nosso objetivo é encontrar os valores de e no tempo . Para isso, vamos precisar entender como aplicar o RK4 em sistemas de equações e calcular os incrementos necessários passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações diferenciais de forma mais clara:
y' = -t z z' = y^2
Aqui, e representam as derivadas de e em relação a , respectivamente. As condições iniciais são e .

Passo 3

O Método de Runge-Kutta de 4ª ordem é uma técnica numérica para aproximar soluções de equações diferenciais. Para sistemas de equações, aplicamos o método a cada equação separadamente. Vamos calcular dois passos de para chegar a .

Passo 4

Primeiro Passo (de t0 = 0, y0 = 1, z0 = 1 para k1y = h cdot f(t0, y0, z0) = 0,1 cdot (-0 cdot 1) = 0 ):
Valores iniciais:
k2y = h cdot f(t0 + h2, y0 + k1y2, z0 + k1z2) = 0,1 cdot (-0,05 cdot 1) = -0,005
Vamos calcular os incrementos k3y = h cdot f(t0 + h2, y0 + k2y2, z0 + k2z2) = 0,1 cdot (-0,05 cdot 0,9975) approx -0,0049875 para k4y = h cdot f(t0 + h, y0 + k3y, z0 + k3z) = 0,1 cdot (-0,1 cdot 0,994975) approx -0,00994975 e k1z = h cdot g(t0, y0, z0) = 0,1 cdot (1)^2 = 0,1 :
Para k2z = h cdot g(t0 + h2, y0 + k1y2, z0 + k1z2) = 0,1 cdot (1)^2 = 0,1 :
k3z = h cdot g(t0 + h2, y0 + k2y2, z0 + k2z2) = 0,1 cdot (0,9975)^2 approx 0,0995
k4z = h cdot g(t0 + h, y0 + k3y, z0 + k3z) = 0,1 cdot (0,9950125)^2 approx 0,0990048
y1 = y0 + 16(k1y + 2k2y + 2k3y + k4y) approx 1 + 16(0 - 0,01 - 0,009975 - 0,00994975) approx 0,99834
z1 = z0 + 16(k1z + 2k2z + 2k3z + k4z) approx 1 + 16(0,1 + 0,2 + 0,199 + 0,0990048) approx 1,09984
Para :
Agora, atualizamos e :

Passo 5

Segundo Passo (de t1 = 0,1, y1 approx 0,99834, z1 approx 1,09984 para k1y = 0,1 cdot (-0,1 cdot 1,09984) approx -0,0109968 ):
Valores atuais:
k2y = 0,1 cdot (-0,15 cdot (0,99834 - 0,0054984)) approx -0,015
Vamos calcular novamente os incrementos k3y = 0,1 cdot (-0,15 cdot (0,99834 - 0,0075)) approx -0,014975 para k4y = 0,1 cdot (-0,2 cdot (0,99834 - 0,014975)) approx -0,019963 e k1z = 0,1 cdot (0,99834)^2 approx 0,09967 :
Para k2z = 0,1 cdot (0,99834 - 0,0054984)^2 approx 0,09865 :
k3z = 0,1 cdot (0,99834 - 0,0074875)^2 approx 0,09851
k4z = 0,1 cdot (0,99834 - 0,014963)^2 approx 0,09733
y2 = y1 + 16(k1y + 2k2y + 2k3y + k4y) approx 0,99834 + 16(-0,0109968 - 0,03 - 0,02995 - 0,019963) approx 0,94263
z2 = z1 + 16(k1z + 2k2z + 2k3z + k4z) approx 1,09984 + 16(0,09967 + 0,1973 + 0,19702 + 0,09733) approx 1,09984 + 0,09872 approx 1,19856
Para :
Atualizamos novamente e :

Resposta

Após aplicar o Método de Runge-Kutta de 4ª ordem com (y, z)(0,2) approx (0,94263, 1,19856) , os valores aproximados para e em são:

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