Considere os PVI
Calcule
para cada um dos problemas usando o método de Euler, o método de Euler modificado e o método RK de
ordem usando o passo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de Equação Diferencial Ordinária (EDO) usando três métodos diferentes: o Método de Euler, o Método de Euler Modificado e o Método de Runge-Kutta de 4ª ordem. O que precisamos fazer é calcular o valor de
para a seguinte EDO:
Vamos usar um passo
para avançar de
até
. Para isso, vamos precisar entender como cada método funciona e aplicá-los passo a passo.
Passo 2
Método de Euler
O Método de Euler é uma técnica simples para aproximar soluções de EDOs. A ideia é usar a taxa de variação
para estimar o próximo valor de
. A fórmula é:
Onde:
-
é o valor atual de -
é o passo -
é a derivada avaliada em e
Vamos aplicar isso de
até
, com
.
Passo 3
Aplicando o Método de Euler
Vamos calcular passo a passo:
-
Passo 0:
-
-
Passo 1:
-
-
Passo 2:
-
-
Passo 3:
-
-
Passo 4:
-
Portanto, usando o Método de Euler, aproximamos que
.
Passo 4
Método de Euler Modificado
O Método de Euler Modificado, também conhecido como Método de Heun, é uma melhoria do Método de Euler que utiliza uma média das inclinações no início e no final do passo. A fórmula é:
Isso ajuda a aumentar a precisão da estimativa.
Passo 5
Aplicando o Método de Euler Modificado
Vamos calcular passo a passo:
-
Passo 0:
-
-
-
- Previsão:
- Inclinação no final:
-
-
-
Passo 1:
-
-
-
- Previsão:
- Inclinação no final:
-
-
-
Passo 2:
-
-
-
- Previsão:
- Inclinação no final:
-
-
-
Passo 3:
-
-
-
- Previsão:
- Inclinação no final:
-
-
-
Passo 4:
-
-
-
- Previsão:
- Inclinação no final:
-
-
Portanto, usando o Método de Euler Modificado, aproximamos que
.
Passo 6
Método de Runge-Kutta de 4ª Ordem (RK4)
O Método de Runge-Kutta de 4ª ordem é mais preciso e envolve calcular várias inclinações intermediárias para estimar o próximo valor de
. As fórmulas são:
Isso nos dá uma estimativa mais precisa de
.
Passo 7
Aplicando o Método de Runge-Kutta de 4ª Ordem
Vamos calcular passo a passo:
-
Passo 0:
-
-
- Calculando
's: -
- Atualizando
: -
-
-
Passo 1:
-
-
- Calculando
's: -
- Atualizando
: -
-
-
Passo 2:
-
-
- Calculando
's: -
- Atualizando
: -
-
-
Passo 3:
-
-
- Calculando
's: -
- Atualizando
: -
-
- ( y_4 = 0,00971728572199 + \frac{0,1}{6}(0,835,903501526) = 0,00971728572199 + 0,013931,
-
-
fection due to truncation. However, for brevity, vamos diretamente ao valor final.
- Passo 4:
- Seguindo os mesmos cálculos, obtemos
- Seguindo os mesmos cálculos, obtemos
Portanto, usando o Método de Runge-Kutta de 4ª Ordem, aproximamos que
.
Resposta
Usando os três métodos com passo
, os valores aproximados de
são:
- Método de Euler:
- Método de Euler Modificado:
- Método RK de 4ª Ordem: