Considere os PVI
l y^prime=t^2+y y(0)=0
Calcule y(0,5) para cada um dos problemas usando o método de Euler, o método de Euler modificado e o método RK de 4^a ordem usando o passo h=0,1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de Equação Diferencial Ordinária (EDO) usando três métodos diferentes: o Método de Euler, o Método de Euler Modificado e o Método de Runge-Kutta de 4ª ordem. O que precisamos fazer é calcular o valor de l y' = t^2 + y y(0) = 0 para a seguinte EDO:
Vamos usar um passo para avançar de até . Para isso, vamos precisar entender como cada método funciona e aplicá-los passo a passo.

Passo 2

Método de Euler
O Método de Euler é uma técnica simples para aproximar soluções de EDOs. A ideia é usar a taxa de variação yn+1 = yn + h cdot f(tn, yn) para estimar o próximo valor de . A fórmula é:
Onde:
  • é o valor atual de
  • é o passo
  • é a derivada avaliada em e
Vamos aplicar isso de até , com .

Passo 3

Aplicando o Método de Euler
Vamos calcular passo a passo:
  1. Passo 0:
  2. Passo 1:
  3. Passo 2:
  4. Passo 3:
  5. Passo 4:
Portanto, usando o Método de Euler, aproximamos que .

Passo 4

Método de Euler Modificado
O Método de Euler Modificado, também conhecido como Método de Heun, é uma melhoria do Método de Euler que utiliza uma média das inclinações no início e no final do passo. A fórmula é:
yn+1 = yn + h2 [ f(tn, yn) + f(tn + h, yn + h cdot f(tn, yn)) ]
Isso ajuda a aumentar a precisão da estimativa.

Passo 5

Aplicando o Método de Euler Modificado
Vamos calcular passo a passo:
  1. Passo 0:
    • Previsão:
    • Inclinação no final:
  2. Passo 1:
    • Previsão:
    • Inclinação no final:
  3. Passo 2:
    • Previsão:
    • Inclinação no final:
  4. Passo 3:
    • Previsão:
    • Inclinação no final:
  5. Passo 4:
    • Previsão:
    • Inclinação no final:
Portanto, usando o Método de Euler Modificado, aproximamos que .

Passo 6

Método de Runge-Kutta de 4ª Ordem (RK4)
O Método de Runge-Kutta de 4ª ordem é mais preciso e envolve calcular várias inclinações intermediárias para estimar o próximo valor de k1 &= f(tn, yn) k2 &= f(tn + h2, yn + h2k1) k3 &= f(tn + h2, yn + h2k2) k4 &= f(tn + h, yn + h k3) yn+1 &= yn + h6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4) . As fórmulas são:
Isso nos dá uma estimativa mais precisa de .

Passo 7

Aplicando o Método de Runge-Kutta de 4ª Ordem
Vamos calcular passo a passo:
  1. Passo 0:
    • Calculando 's:
    • Atualizando :
  2. Passo 1:
    • Calculando 's:
    • Atualizando :
  3. Passo 2:
    • Calculando 's:
    • Atualizando :
  4. Passo 3:
    • Calculando 's:
    • Atualizando :
      • ( y_4 = 0,00971728572199 + \frac{0,1}{6}(0,835,903501526) = 0,00971728572199 + 0,013931,
fection due to truncation. However, for brevity, vamos diretamente ao valor final.
  1. Passo 4:
    • Seguindo os mesmos cálculos, obtemos
Portanto, usando o Método de Runge-Kutta de 4ª Ordem, aproximamos que .

Resposta

Usando os três métodos com passo , os valores aproximados de são:
  • Método de Euler:
  • Método de Euler Modificado:
  • Método RK de 4ª Ordem:

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