Calcule para cada um dos problemas usando o método de Euler, o método de Euler modificado e o método RK de ordem usando o passo .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de Equação Diferencial Ordinária (EDO) usando três métodos diferentes: o Método de Euler, o Método de Euler Modificado e o Método de Runge-Kutta de 4ª ordem. O que precisamos fazer é calcular o valor de para a seguinte EDO:
Vamos usar um passo para avançar de até . Para isso, vamos precisar entender como cada método funciona e aplicá-los passo a passo.
Passo 2
Método de Euler
O Método de Euler é uma técnica simples para aproximar soluções de EDOs. A ideia é usar a taxa de variação para estimar o próximo valor de . A fórmula é:
Onde:
é o valor atual de
é o passo
é a derivada avaliada em e
Vamos aplicar isso de até , com .
Passo 3
Aplicando o Método de Euler
Vamos calcular passo a passo:
Passo 0:
Passo 1:
Passo 2:
Passo 3:
Passo 4:
Portanto, usando o Método de Euler, aproximamos que .
Passo 4
Método de Euler Modificado
O Método de Euler Modificado, também conhecido como Método de Heun, é uma melhoria do Método de Euler que utiliza uma média das inclinações no início e no final do passo. A fórmula é:
Isso ajuda a aumentar a precisão da estimativa.
Passo 5
Aplicando o Método de Euler Modificado
Vamos calcular passo a passo:
Passo 0:
Previsão:
Inclinação no final:
Passo 1:
Previsão:
Inclinação no final:
Passo 2:
Previsão:
Inclinação no final:
Passo 3:
Previsão:
Inclinação no final:
Passo 4:
Previsão:
Inclinação no final:
Portanto, usando o Método de Euler Modificado, aproximamos que .
Passo 6
Método de Runge-Kutta de 4ª Ordem (RK4)
O Método de Runge-Kutta de 4ª ordem é mais preciso e envolve calcular várias inclinações intermediárias para estimar o próximo valor de . As fórmulas são: