Considere o PVI
l 3 y^prime prime+4 y^prime+y=sin t e^-t y(0)=1 y^prime(0)=0
Calcule y(0,5)
Usando o método de Euler com h=0,1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um problema de valor inicial (PVI) que é uma equação diferencial de segunda ordem:
l 3 y'' + 4 y' + y = sin t , e^-t y(0) = 1 y'(0) = 0
A gente vai usar o método de Euler com um passo de para calcular . O método de Euler é uma técnica numérica para aproximar soluções de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, precisamos transformar essa equação de segunda ordem em um sistema de duas equações de primeira ordem. Vamos definir:
  • y1' = y2 y2' = 13 ( sin t , e^-t - 4 y2 - y1 )
Então, temos:
Agora, temos um sistema de duas equações que podemos resolver com o método de Euler.

Passo 3

Vamos organizar os passos do método de Euler:
  1. Inicialização:
    • yn+1 = yn + h cdot f(tn, yn)
    • Passo
  2. Iterações:
    Vamos calcular e para , , até chegar em .
Passo de Euler:
Para cada passo, usamos:
Onde é a derivada.
Etapa 1: De para
  • Atualizamos:
Etapa 2: De para
    • Calculando:
      • Então,
      • Total:
  • Atualizamos:
Etapa 3: De para
    • Calculando:
      • Total:
  • Atualizamos:
Etapa 4: De para
    • Calculando:
      • Total:
  • Atualizamos:
Etapa 5: De para
    • Calculando:
      • Total:
  • Atualizamos:

Resposta

Após aplicar o método de Euler com , o valor aproximado de é 0,9735.

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