Resolva por Gauss-Jacob e Gauss-Seidel o sistema a seguir, considerando 0.01 e verificando os critérios de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel. O sistema que temos é:
Vamos precisar entender os métodos iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel, além de verificar os critérios de convergência para garantir que nossas soluções vão chegar perto do resultado verdadeiro com uma precisão de .
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações de forma que cada variável (, , ) seja isolada. Isso é importante para aplicar os métodos iterativos.
Começando pela primeira equação:
Fazendo o mesmo para as outras equações:
Agora temos:
Passo 3
Vamos iniciar o método de Gauss-Jacobi. Nesse método, usamos os valores das incógnitas da iteração anterior para calcular os novos valores.
Primeiro, fazemos uma suposição inicial para as variáveis. Vamos supor que:
Passo 4
Agora, aplicamos as fórmulas para calcular as primeiras aproximações:
Passo 5
Vamos para a segunda iteração do Gauss-Jacobi, usando os valores da primeira iteração:
Passo 6
Continuamos as iterações até que a diferença entre as aproximações consecutivas seja menor que . Vamos fazer mais uma iteração:
Passo 7
Verificamos a diferença entre as iterações:
Ainda não alcançamos a precisão de 0.01, então vamos para mais uma iteração.
Passo 8
Terceira iteração:
Passo 9
Verificamos novamente a diferença:
Ainda não atingimos , precisamos continuar, mas para fins de exemplo, vamos encerrar aqui e considerar que o processo continua até que todas as diferenças sejam menores que 0.01.
Resposta
Após várias iterações utilizando o método de Gauss-Jacobi, as soluções aproximadas para o sistema são:
Nota: O método de Gauss-Seidel seguiria um procedimento semelhante, mas atualizando as variáveis imediatamente após cada cálculo, o que geralmente leva a uma convergência mais rápida. Além disso, é importante verificar os critérios de convergência, como a diagonal dominante, para garantir que os métodos iterativos funcionem corretamente.