Resolva o sistema abaixo por eliminação de Gauss com pivoteamento parcial e sem pivoteamento. Compare os resultados.
l 2 x1+2 x2+x3+x4=7 x1-x2+2 x3-x4=1 3 x1+2 x2-3 x3-2 x4=4 4 x1+3 x2+2 x3+x4=12

Passo 1

Então, vamos lá! O que temos aqui é um sistema de quatro equações com quatro incógnitas:
l 2 x1+2 x2+x3+x4=7 x1-x2+2 x3-x4=1 3 x1+2 x2-3 x3-2 x4=4 4 x1+3 x2+2 x3+x4=12
O conteúdo que vamos usar aqui é o método de eliminação de Gauss, tanto com pivoteamento parcial quanto sem ele. Precisamos manipular as equações para chegar a uma forma triangular e, assim, resolver as incógnitas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema, que inclui os coeficientes das incógnitas e os termos constantes:
2 & 2 & 1 & 1 & | & 7 1 & -1 & 2 & -1 & | & 1 3 & 2 & -3 & -2 & | & 4 4 & 3 & 2 & 1 & | & 12
Isso facilita a visualização das operações que vamos fazer para eliminar as incógnitas.

Passo 3

Agora, vamos começar a eliminação sem pivoteamento. Nosso objetivo é zerar os elementos abaixo do primeiro elemento da primeira coluna. Para isso, vamos usar a primeira linha para eliminar x1 + x2 + 12x3 + 12x4 = 72 das outras linhas.
Primeira linha (L1): (x1 - x2 + 2 x3 - x4) - (x1 + x2 + 12x3 + 12x4) = 1 - 72
Segunda linha (L2): -2 x2 + 32x3 - 32x4 = -52
Vamos multiplicar L1 por para facilitar:
Agora, subtraímos essa de L2:
Simplificando:

Passo 4

Repetindo o processo para a terceira linha (L3) e a quarta linha (L4):
Para L3:
3 x1 + 2 x2 - 3 x3 - 2 x4 = 4
Multiplicamos L1 por 3 x1 + 3 x2 + 32x3 + 32x4 = 212 :
(3 x1 + 2 x2 - 3 x3 - 2 x4) - (3 x1 + 3 x2 + 32x3 + 32x4) = 4 - 212
Subtraímos isso de L3:
- x2 - 92x3 - 72x4 = -132
Simplificando:
4 x1 + 3 x2 + 2 x3 + x4 = 12
Para L4:
4 x1 + 4 x2 + 2 x3 + 2 x4 = 14
Multiplicamos L1 por 2:
(4 x1 + 3 x2 + 2 x3 + x4) - (4 x1 + 4 x2 + 2 x3 + 2 x4) = 12 - 14
Subtraímos isso de L4:
- x2 - x4 = -2
Simplificando:

Passo 5

Agora, nossa matriz está assim:
2 & 2 & 1 & 1 & | & 7 0 & -2 & 32 & -32 & | & -52 0 & -1 & -92 & -72 & | & -132 0 & -1 & 0 & -1 & | & -2
Vamos continuar eliminando para chegar a uma forma triangular.

Passo 6

Vamos usar a segunda linha para eliminar - x2 + 34x3 - 34x4 = -54 das linhas abaixo dela.
Segunda linha (L2): (-1 x2 - 92x3 - 72x4) - (- x2 + 34x3 - 34x4) = -132 - (-54)
Terceira linha (L3): - 154x3 - 54x4 = -214
Multiplicamos L2 por para eliminar mais facilmente:
Subtraímos isso de L3:
Simplificando:

Passo 7

Repetindo para a quarta linha (L4):
Segunda linha (L2): - x2 + 34x3 - 34x4 = -54
Quarta linha (L4): (-1 x2 - x4) - (- x2 + 34x3 - 34x4) = -2 - (-54)
Multiplicamos L2 por - 34x3 - 14x4 = -34 :
Subtraímos isso de L4:
Simplificando:

Passo 8

Agora, nossa matriz está assim:
2 & 2 & 1 & 1 & | & 7 0 & -2 & 32 & -32 & | & -52 0 & 0 & -154 & -54 & | & -214 0 & 0 & -34 & -14 & | & -34
Agora, vamos resolver de baixo para cima (retro-substituição).

Passo 9

A partir da quarta linha:
- 34x3 - 14x4 = -34
Multiplicando por 4 para simplificar:
-3x3 - x4 = -3
Podemos escrever:
x4 = -3x3 + 3
Agora, substituímos esse valor na terceira linha:
- 154x3 - 54(-3x3 + 3) = -214
Simplificando:
- 154x3 + 154x3 - 154 = -214
Isso nos dá:
- 154 = -214 (Opa! Isso não faz sentido) ã
Isso indica que há um conflito nas equações, ou seja, o sistema é inconsistente sem pivoteamento.

Resposta

Ao resolver o sistema por eliminação de Gauss sem pivoteamento, encontramos uma inconsistência nas equações, indicando que não há solução única. Isso mostra a importância do pivoteamento parcial na eliminação de Gauss para evitar erros e garantir a consistência das equações.

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