Resolva o sistema abaixo por eliminação de Gauss com pivoteamento parcial e sem pivoteamento. Compare os resultados.
Passo 1
Então, vamos lá! O que temos aqui é um sistema de quatro equações com quatro incógnitas:
O conteúdo que vamos usar aqui é o método de eliminação de Gauss, tanto com pivoteamento parcial quanto sem ele. Precisamos manipular as equações para chegar a uma forma triangular e, assim, resolver as incógnitas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema, que inclui os coeficientes das incógnitas e os termos constantes:
Isso facilita a visualização das operações que vamos fazer para eliminar as incógnitas.
Passo 3
Agora, vamos começar a eliminação sem pivoteamento. Nosso objetivo é zerar os elementos abaixo do primeiro elemento da primeira coluna. Para isso, vamos usar a primeira linha para eliminar das outras linhas.
Primeira linha (L1):
Segunda linha (L2):
Vamos multiplicar L1 por para facilitar:
Agora, subtraímos essa de L2:
Simplificando:
Passo 4
Repetindo o processo para a terceira linha (L3) e a quarta linha (L4):
Para L3:
Multiplicamos L1 por :
Subtraímos isso de L3:
Simplificando:
Para L4:
Multiplicamos L1 por 2:
Subtraímos isso de L4:
Simplificando:
Passo 5
Agora, nossa matriz está assim:
Vamos continuar eliminando para chegar a uma forma triangular.
Passo 6
Vamos usar a segunda linha para eliminar das linhas abaixo dela.
Segunda linha (L2):
Terceira linha (L3):
Multiplicamos L2 por para eliminar mais facilmente:
Subtraímos isso de L3:
Simplificando:
Passo 7
Repetindo para a quarta linha (L4):
Segunda linha (L2):
Quarta linha (L4):
Multiplicamos L2 por :
Subtraímos isso de L4:
Simplificando:
Passo 8
Agora, nossa matriz está assim:
Agora, vamos resolver de baixo para cima (retro-substituição).
Passo 9
A partir da quarta linha:
Multiplicando por 4 para simplificar:
Podemos escrever:
Agora, substituímos esse valor na terceira linha:
Simplificando:
Isso nos dá:
ã
Isso indica que há um conflito nas equações, ou seja, o sistema é inconsistente sem pivoteamento.
Resposta
Ao resolver o sistema por eliminação de Gauss sem pivoteamento, encontramos uma inconsistência nas equações, indicando que não há solução única. Isso mostra a importância do pivoteamento parcial na eliminação de Gauss para evitar erros e garantir a consistência das equações.