Resolva o sistema abaixo por eliminação de Gauss com pivoteamento parcial e sem pivoteamento. Compare os resultados.
Passo 1
Então, vamos lá! O que temos aqui é um sistema de quatro equações com quatro incógnitas:
O conteúdo que vamos usar aqui é o método de eliminação de Gauss, tanto com pivoteamento parcial quanto sem ele. Precisamos manipular as equações para chegar a uma forma triangular e, assim, resolver as incógnitas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema, que inclui os coeficientes das incógnitas e os termos constantes:
Isso facilita a visualização das operações que vamos fazer para eliminar as incógnitas.
Passo 3
Agora, vamos começar a eliminação sem pivoteamento. Nosso objetivo é zerar os elementos abaixo do primeiro elemento da primeira coluna. Para isso, vamos usar a primeira linha para eliminar x1 + x2 + 12x3 + 12x4 = 72 das outras linhas.
Agora, vamos resolver de baixo para cima (retro-substituição).
Passo 9
A partir da quarta linha:
- 34x3 - 14x4 = -34
Multiplicando por 4 para simplificar:
-3x3 - x4 = -3
Podemos escrever:
x4 = -3x3 + 3
Agora, substituímos esse valor na terceira linha:
- 154x3 - 54(-3x3 + 3) = -214
Simplificando:
- 154x3 + 154x3 - 154 = -214
Isso nos dá:
- 154 = -214 (Opa! Isso não faz sentido) ã
Isso indica que há um conflito nas equações, ou seja, o sistema é inconsistente sem pivoteamento.
Resposta
Ao resolver o sistema por eliminação de Gauss sem pivoteamento, encontramos uma inconsistência nas equações, indicando que não há solução única. Isso mostra a importância do pivoteamento parcial na eliminação de Gauss para evitar erros e garantir a consistência das equações.