A série infinita
f(n)=sumi=1^n 1i^4
converge para um valor f(infty)=pi^490 approx 1.0823 quando n tende ao infinito. Use sua calculadora para calcular f(n) para n=10, somando os termos de i=1 até i=10. A seguir, repita os cálculos na ordem inversa - isto é, some de i=10 até i=1 com incrementos de -1 . Em cada caso, compare o resultado com o valor verdadeiro f(infty) e calcule o erro relativo percentual. Explique as diferenças nos resultados entre a soma direta e a soma inversa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita definida por:
f(n) = sumi=1^n 1i^4
Quando f(infty) = pi^490 approx 1.0823 tende ao infinito, essa série converge para:
O exercício pede para a gente calcular quando de duas maneiras diferentes: somando de até , e depois somando de até . Depois, vamos comparar esses resultados com o valor verdadeiro e calcular o erro relativo percentual. Por fim, vamos explicar por que os resultados das duas somas podem ser diferentes.
Para resolver isso, vamos precisar:
  1. Saber como somar os termos da série de maneira direta e inversa.
  2. Usar uma calculadora para somar os termos.
  3. Entender como calcular o erro relativo percentual.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular 11^4 + 12^4 + 13^4 + dots + 110^4 para 11^4 &= 1.0000 12^4 &= 0.0625 13^4 &= 0.0123 14^4 &= 0.0039 15^4 &= 0.0016 16^4 &= 0.0008 17^4 &= 0.0003 18^4 &= 0.0002 19^4 &= 0.0002 110^4 &= 0.0001 somando de 1.0000 + 0.0625 + 0.0123 + 0.0039 + 0.0016 + 0.0008 + 0.0003 + 0.0002 + 0.0002 + 0.0001 approx 1.0819 até . Isso significa que vamos somar os termos:
Vamos calcular cada termo individualmente:
Agora, somando todos esses valores:

Passo 3

Agora, vamos fazer a soma inversa: somar de 110^4 + 19^4 + 18^4 + dots + 11^4 até 0.0001 + 0.0002 + 0.0002 + 0.0003 + 0.0008 + 0.0016 + 0.0039 + 0.0123 + 0.0625 + 1.0000 approx 1.0819 . Ou seja:
Usando os mesmos valores dos termos que já calculamos:
Curiosamente, neste caso específico, a soma direta e a soma inversa deram o mesmo resultado, aproximadamente 1.0819. Isso acontece porque os termos desta série diminuem rapidamente conforme aumenta, então a ordem de soma não influencia muito o resultado final.

Passo 4

Agora, vamos comparar esses resultados com o valor verdadeiro Erro Relativo % = | f(n) - f(infty)f(infty) | times 100% e calcular o erro relativo percentual.
A fórmula para o erro relativo percentual é:
| 1.0819 - 1.08231.0823 | times 100% approx | -0.00041.0823 | times 100% approx 0.037%
Aplicando os valores:
Então, o erro relativo percentual é de aproximadamente 0.037%.

Passo 5

Por fim, vamos explicar as diferenças nos resultados entre a soma direta e a soma inversa. No nosso caso, ambas as somas deram praticamente o mesmo resultado. Isso acontece porque os termos da série diminuem muito rapidamente conforme aumenta. Portanto, a ordem de soma não afeta significativamente o resultado final, já que os termos menores (no final da soma direta ou no início da soma inversa) têm pouca influência no total.
Em outras séries onde os termos não diminuem tão rapidamente, a ordem da soma pode influenciar mais o resultado devido a pequenos erros de arredondamento que se acumulam de maneira diferente.

Resposta

A soma direta e a soma inversa de resultaram em aproximadamente 1.0819, com um erro relativo percentual de cerca de 0.037% em relação ao valor verdadeiro . Ambas as somas deram quase o mesmo resultado porque os termos da série diminuem rapidamente, tornando a ordem de soma irrelevante neste caso.

Exercícios relacionados