b) Repita o item (a), usando agora o método de Euler Aperfeiçoado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um problema de valor inicial (PVI) com a seguinte equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Para resolver esse tipo de problema usando o Método de Euler Aperfeiçoado, vamos precisar entender o básico desse método, que é uma técnica numérica para aproximar soluções de equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar rapidamente o Método de Euler Simples, que é a base para o Euler Aperfeiçoado. No método básico, a ideia é aproximar a solução em pequenos passos incrementais (h) usando a inclinação da função no ponto atual. A fórmula é:
yn+1 = yn + h cdot f(xn, yn)
Onde:
é o valor atual da função.
é o tamanho do passo.
é a derivada avaliada em .
O Euler Aperfeiçoado, também conhecido como método de Heun, melhora essa aproximação calculando uma média das inclinações no início e no final do intervalo.
Passo 3
Vamos definir os passos do Método de Euler Aperfeiçoado:
Calcular a inclinação inicial: k1 = f(xn, yn)
Estimativa preliminar de yprelim = yn + h cdot k1 no próximo ponto: k2 = f(xn + h, yprelim)
Calcular a inclinação no ponto preliminar: yn+1 = yn + dfrach2 (k1 + k2)
Atualizar usando a média das inclinações:
Passo 4
Agora, vamos aplicar esse método ao nosso PVI. Primeiro, precisamos escolher o tamanho do passo . Para simplificar, vamos escolher . Também, começamos com e .