Considere o PVI
l y^prime=(y^2-1) /(x^2+1) y(0)=1
b) Repita o item (a), usando agora o método de Euler Aperfeiçoado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um problema de valor inicial (PVI) com a seguinte equação diferencial:
l y^prime=dfracy^2-1x^2+1 y(0)=1
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Para resolver esse tipo de problema usando o Método de Euler Aperfeiçoado, vamos precisar entender o básico desse método, que é uma técnica numérica para aproximar soluções de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar rapidamente o Método de Euler Simples, que é a base para o Euler Aperfeiçoado. No método básico, a ideia é aproximar a solução em pequenos passos incrementais (h) usando a inclinação da função no ponto atual. A fórmula é:
yn+1 = yn + h cdot f(xn, yn)
Onde:
  • é o valor atual da função.
  • é o tamanho do passo.
  • é a derivada avaliada em .
O Euler Aperfeiçoado, também conhecido como método de Heun, melhora essa aproximação calculando uma média das inclinações no início e no final do intervalo.

Passo 3

Vamos definir os passos do Método de Euler Aperfeiçoado:
  1. Calcular a inclinação inicial: k1 = f(xn, yn)
  2. Estimativa preliminar de yprelim = yn + h cdot k1 no próximo ponto: k2 = f(xn + h, yprelim)
  3. Calcular a inclinação no ponto preliminar: yn+1 = yn + dfrach2 (k1 + k2)
  4. Atualizar usando a média das inclinações:

Passo 4

Agora, vamos aplicar esse método ao nosso PVI. Primeiro, precisamos escolher o tamanho do passo . Para simplificar, vamos escolher . Também, começamos com e .

Passo 5

Passo 1: Calcular k1 = f(x0, y0) = dfracy0^2 - 1x0^2 + 1 = dfrac1^2 - 10^2 + 1 = dfrac01 = 0
yprelim = y0 + h cdot k1 = 1 + 0.1 cdot 0 = 1
Passo 2: Estimar k2 = f(x0 + h, yprelim) = dfrac1^2 - 1(0 + 0.1)^2 + 1 = dfrac00.01 + 1 = 0
y1 = y0 + dfrach2 (k1 + k2) = 1 + dfrac0.12 (0 + 0) = 1
Passo 3: Calcular
Passo 4: Atualizar

Resposta

Após aplicar o Método de Euler Aperfeiçoado com um passo de y(0.1) = 1 , o valor aproximado de em é:

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