Qual o erro máximo cometido na aproximação de
pela regra de
Simpson com quatro subintervalos?
Calcule por Trapézios e compare os resultados.
Simpson com quatro subintervalos?
Calcule por Trapézios e compare os resultados.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o erro máximo ao aproximar a integral de
usando a regra de Simpson com quatro subintervalos. Além disso, a gente precisa calcular a integral pela regra dos Trapézios e comparar os resultados. Vamos precisar entender as regras de Simpson e dos Trapézios, além de saber como calcular erros nessas aproximações.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a regra de Simpson. Ela é uma técnica de aproximação de integrais que é bem precisa quando comparada a outras, como a dos Trapézios. A regra de Simpson utiliza parábolas para aproximar a curva da função. A fórmula geral da regra de Simpson para
subintervalos (onde
é par) é:
Onde
.
Passo 3
Vamos aplicar a regra de Simpson para a nossa integral. Temos
,
e
subintervalos. Calculando
:
Os pontos de divisão são
,
,
,
e
.
Passo 4
Agora, vamos calcular os valores da função
nesses pontos:
Passo 5
Aplicando a fórmula da regra de Simpson:
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, vamos calcular o erro máximo da regra de Simpson. A fórmula do erro é:
Primeiro, precisamos encontrar a quarta derivada de
:
Como a quarta derivada é zero, o erro máximo da regra de Simpson também será zero. Isso significa que, para essa função polinomial de terceiro grau, a regra de Simpson calcula a integral exatamente.
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral pela regra dos Trapézios para comparar. A fórmula da regra dos Trapézios é:
Usando os mesmos valores de
e os
calculados anteriormente:
Resposta
A regra de Simpson com quatro subintervalos aproxima a integral exatamente com valor 172, enquanto a regra dos Trapézios dá uma aproximação de 184. Além disso, o erro máximo da regra de Simpson é zero para essa função.
Exercícios relacionados
O problema de valor inicial:
a) Verifique a afirmação acima.
Considere a tabela | x | 0.0 | 0.2 | 0.3 | 0.5 | 0.6 |
---|---|---|---|---|---|---|
|
1.008 | 1.064 | 1.125 | 1.343 | 1.512 |
a) Construa a tabela das diferenças divididas referente os dados acima.
Considere o PVI
b) Repita o item (a), usando agora o método de Euler Aperfeiçoado.
Calcule o erro absoluto e o erro relativo na aproximação de
por
.
(b)
(b)