Qual o erro máximo cometido na aproximação de integral0^4(3 x^3-3 x+1) d x pela regra de
Simpson com quatro subintervalos?
Calcule por Trapézios e compare os resultados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o erro máximo ao aproximar a integral de usando a regra de Simpson com quatro subintervalos. Além disso, a gente precisa calcular a integral pela regra dos Trapézios e comparar os resultados. Vamos precisar entender as regras de Simpson e dos Trapézios, além de saber como calcular erros nessas aproximações.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a regra de Simpson. Ela é uma técnica de aproximação de integrais que é bem precisa quando comparada a outras, como a dos Trapézios. A regra de Simpson utiliza parábolas para aproximar a curva da função. A fórmula geral da regra de Simpson para integrala^b f(x) dx approx De subintervalos (onde é par) é:
í
Onde .

Passo 3

Vamos aplicar a regra de Simpson para a nossa integral. Temos De, e subintervalos. Calculando :
Os pontos de divisão são , , , e .

Passo 4

Agora, vamos calcular os valores da função f(0) &= 3(0)^3 - 3(0) + 1 = 1 f(1) &= 3(1)^3 - 3(1) + 1 = 3 - 3 + 1 = 1 f(2) &= 3(2)^3 - 3(2) + 1 = 24 - 6 + 1 = 19 f(3) &= 3(3)^3 - 3(3) + 1 = 81 - 9 + 1 = 73 f(4) &= 3(4)^3 - 3(4) + 1 = 192 - 12 + 1 = 181 nesses pontos:

Passo 5

Aplicando a fórmula da regra de Simpson:
integral0^4 f(x) dx approx 13 [ f(0) + 4f(1) + 2f(2) + 4f(3) + f(4) ]
Substituindo os valores:
approx 13 [ 1 + 4(1) + 2(19) + 4(73) + 181 ] = 13 [ 1 + 4 + 38 + 292 + 181 ] = 13 times 516 = 172

Passo 6

Agora, vamos calcular o erro máximo da regra de Simpson. A fórmula do erro é:
|ES| <= (b - a)^5180 n^4 cdot max |f^(4)(x)|
Primeiro, precisamos encontrar a quarta derivada de f(x) = 3x^3 - 3x + 1 f'(x) = 9x^2 - 3 f''(x) = 18x f'''(x) = 18 f''''(x) = 0 :
Como a quarta derivada é zero, o erro máximo da regra de Simpson também será zero. Isso significa que, para essa função polinomial de terceiro grau, a regra de Simpson calcula a integral exatamente.

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral pela regra dos Trapézios para comparar. A fórmula da regra dos Trapézios é:
integrala^b f(x) dx approx De
Usando os mesmos valores de approx 12 [ 1 + 2(1 + 19 + 73) + 181 ] = 12 [ 1 + 2(93) + 181 ] = 12 times 368 = 184 e os calculados anteriormente:

Resposta

A regra de Simpson com quatro subintervalos aproxima a integral exatamente com valor 172, enquanto a regra dos Trapézios dá uma aproximação de 184. Além disso, o erro máximo da regra de Simpson é zero para essa função.

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