Qual o erro máximo cometido na aproximação de pela regra de
Simpson com quatro subintervalos?
Calcule por Trapézios e compare os resultados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o erro máximo ao aproximar a integral de usando a regra de Simpson com quatro subintervalos. Além disso, a gente precisa calcular a integral pela regra dos Trapézios e comparar os resultados. Vamos precisar entender as regras de Simpson e dos Trapézios, além de saber como calcular erros nessas aproximações.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a regra de Simpson. Ela é uma técnica de aproximação de integrais que é bem precisa quando comparada a outras, como a dos Trapézios. A regra de Simpson utiliza parábolas para aproximar a curva da função. A fórmula geral da regra de Simpson para subintervalos (onde é par) é:
í
Onde .

Passo 3

Vamos aplicar a regra de Simpson para a nossa integral. Temos , e subintervalos. Calculando :
Os pontos de divisão são , , , e .

Passo 4

Agora, vamos calcular os valores da função nesses pontos:

Passo 5

Aplicando a fórmula da regra de Simpson:
Substituindo os valores:

Passo 6

Agora, vamos calcular o erro máximo da regra de Simpson. A fórmula do erro é:
Primeiro, precisamos encontrar a quarta derivada de :
Como a quarta derivada é zero, o erro máximo da regra de Simpson também será zero. Isso significa que, para essa função polinomial de terceiro grau, a regra de Simpson calcula a integral exatamente.

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral pela regra dos Trapézios para comparar. A fórmula da regra dos Trapézios é:
Usando os mesmos valores de e os calculados anteriormente:

Resposta

A regra de Simpson com quatro subintervalos aproxima a integral exatamente com valor 172, enquanto a regra dos Trapézios dá uma aproximação de 184. Além disso, o erro máximo da regra de Simpson é zero para essa função.

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O problema de valor inicial:
úçã
a) Verifique a afirmação acima.
Considere a tabela x 0.0 0.2 0.3 0.5 0.6
1.008 1.064 1.125 1.343 1.512
a) Construa a tabela das diferenças divididas referente os dados acima.
Considere o PVI
b) Repita o item (a), usando agora o método de Euler Aperfeiçoado.
Calcule o erro absoluto e o erro relativo na aproximação de por .
(b)