O problema de valor inicial:
a) Verifique a afirmação acima.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos apresenta um problema de valor inicial, que é um tipo de equação diferencial. A equação dada é:
com a condição inicial
. A afirmação é que a solução exata dessa equação é
. Nosso objetivo aqui é verificar se essa solução está correta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial de primeiro grau. É uma equação que relaciona uma função desconhecida
e sua primeira derivada
. No caso, temos:
Essa é uma equação diferencial linear e homogênea. A solução geral para esse tipo de equação pode ser encontrada separando as variáveis ou usando a fórmula padrão.
Passo 3
Vamos usar a técnica de separação de variáveis. Isso significa que vamos rearranjar a equação para isolar
de um lado e
do outro. Assim:
Agora, integramos ambos os lados:
Passo 4
Integrando, temos:
Onde
é a constante de integração. Para resolver para
, aplicamos a função exponencial em ambos os lados:
Como
é apenas uma constante, podemos renomeá-la como
:
Passo 5
Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de
. Sabemos que
. Substituindo na solução:
Passo 6
Com
, a solução particular é:
Resposta
Sim, a solução exata
satisfaz o problema de valor inicial dado.
Exercícios relacionados
Considere a tabela | x | 0.0 | 0.2 | 0.3 | 0.5 | 0.6 |
---|---|---|---|---|---|---|
|
1.008 | 1.064 | 1.125 | 1.343 | 1.512 |
a) Construa a tabela das diferenças divididas referente os dados acima.
Considere a tabela
x | 1 | 2 | |
---|---|---|---|
|
0,84 | 0,91 | e encontre o polinômio interpolador de grau 1 nos pontos dados, usando a forma de Vandermonde para calcular o valor aproximado de
|
Qual o erro máximo cometido na aproximação de
pela regra de
Simpson com quatro subintervalos?
Calcule por Trapézios e compare os resultados.
Simpson com quatro subintervalos?
Calcule por Trapézios e compare os resultados.
Considere o PVI
b) Repita o item (a), usando agora o método de Euler Aperfeiçoado.