O problema de valor inicial:
l y^prime=-20 y y(0)=1, tem por única solução exata y(x)=e^-20 x úçã
a) Verifique a afirmação acima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos apresenta um problema de valor inicial, que é um tipo de equação diferencial. A equação dada é:
y' = -20y
com a condição inicial . A afirmação é que a solução exata dessa equação é . Nosso objetivo aqui é verificar se essa solução está correta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial de primeiro grau. É uma equação que relaciona uma função desconhecida y' = -20y e sua primeira derivada . No caso, temos:
Essa é uma equação diferencial linear e homogênea. A solução geral para esse tipo de equação pode ser encontrada separando as variáveis ou usando a fórmula padrão.

Passo 3

Vamos usar a técnica de separação de variáveis. Isso significa que vamos rearranjar a equação para isolar dydx = -20y Rightarrow dyy = -20 dx de um lado e integral 1y dy = integral -20 dx do outro. Assim:
Agora, integramos ambos os lados:

Passo 4

Integrando, temos:
ln |y| = -20x + C
Onde y = e^-20x + C = e^C cdot e^-20x é a constante de integração. Para resolver para y = K e^-20x , aplicamos a função exponencial em ambos os lados:
Como é apenas uma constante, podemos renomeá-la como :

Passo 5

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de 1 = K e^-20 cdot 0 Rightarrow 1 = K cdot 1 Rightarrow K = 1 . Sabemos que . Substituindo na solução:

Passo 6

Com y(x) = e^-20x , a solução particular é:

Resposta

Sim, a solução exata satisfaz o problema de valor inicial dado.

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