Usando o método de Newton, resolva as equações com precisão epsilon1=epsilon2=0,0001 :
b) f(x)=sen(x)-x-1=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação usando o método de Newton. Esse método faz parte da matéria de Cálculo Numérico e é usado para encontrar raízes de funções de forma iterativa. Para isso, precisamos da função e da sua derivada . A precisão que vamos buscar é .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de . A derivada de é , a derivada de é e a derivada de é . Então, .

Passo 3

Agora, escolhemos um palpite inicial . Olhando para a equação , vamos tentar como ponto de partida.

Passo 4

Aplicamos a fórmula do método de Newton:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Vamos calcular x1 = 1.5 - -1.5025-0.9293 approx 1.5 - 1.616 approx -0.116 e . Então,

Passo 5

Continuamos o processo com f(-0.116) = sin(-0.116) - (-0.116) - 1 approx -0.1159 + 0.116 - 1 = -1.0 :
f'(-0.116) = cos(-0.116) - 1 approx 0.993 - 1 = -0.007
x2 = -0.116 - -1.0-0.007 approx -0.116 - 142.857 approx -142.973
Isso mostra que nosso palpite inicial não está próximo da raiz. Vamos tentar outro palpite, por exemplo, .

Passo 6

Com f(-2) = sin(-2) - (-2) - 1 approx -0.9093 + 2 - 1 = 0.0907 :
f'(-2) = cos(-2) - 1 approx -0.4161 - 1 = -1.4161
x1 = -2 - 0.0907-1.4161 approx -2 + 0.064 = -1.936

Passo 7

Agora com f(-1.936) = sin(-1.936) - (-1.936) - 1 approx -0.934 - (-1.936) - 1 = 0.002 :
f'(-1.936) = cos(-1.936) - 1 approx -0.356 - 1 = -1.356
x2 = -1.936 - 0.002-1.356 approx -1.936 + 0.0015 = -1.9345
Como a diferença entre e é menor que e , podemos parar as iterações.

Resposta

A raiz da equação aproximada pelo método de Newton é .

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