Dos seguintes três conjuntos de equações lineares, identifique qual(is) conjunto(s) não pode(m) ser resolvido(s) usando um método ite-
rativo como o de Gauss-Seidel. Mostre, utilizando qualquer número de iterações, que necessariamente sua solução não converge. Enuncie claramente seu critério de convergência (como você sabe que a solução não está convergindo).
c.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações lineares:
O objetivo aqui é identificar se esse sistema pode ser resolvido usando um método iterativo como o de Gauss-Seidel. Se não puder, vamos mostrar que a solução não converge, ou seja, que as iterações não chegam a um resultado estável.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de métodos iterativos e critérios de convergência, especialmente o cálculo do raio espectral da matriz iterativa.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações de forma que cada variável seja isolada. Isso é necessário para aplicar o método de Gauss-Seidel, que depende de iterações baseadas em equações isoladas.
Vamos reorganizar cada equação:
  1. Da primeira equação:
  1. Da segunda equação:
  1. Da terceira equação:
Agora temos todas as variáveis isoladas:

Passo 3

O próximo passo é montar a matriz iterativa usada no método de Gauss-Seidel. Para isso, precisamos expressar o sistema na forma matricial padrão:
Onde:
  • é a matriz diagonal,
  • é a matriz que contém os demais termos,
  • é o vetor dos termos constantes.
Vamos identificar e para o nosso sistema.
Primeira, a matriz dos coeficientes é:
A matriz diagonal é:
E a matriz é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a matriz iterativa que é usada no método de Gauss-Seidel. A fórmula para é:
Vamos calcular cada elemento de :
  1. Primeiro elemento :
  1. Elemento :
  1. Elemento :
  1. Elemento :
  1. Elemento :
  1. Elemento :
  1. Elemento :
  1. Elemento :
  1. Elemento :
Portanto, a matriz fica:

Passo 5

Para verificar se o método de Gauss-Seidel vai convergir, precisamos calcular o raio espectral da matriz . O critério de convergência que vamos usar é:
O método de Gauss-Seidel converge se o raio espectral da matriz iterativa for menor que 1.
O raio espectral é o maior valor absoluto entre os autovalores de . Se o maior valor absoluto for maior ou igual a 1, a sequência de iterações não converge.
Vamos calcular os autovalores de . Para isso, precisamos resolver o determinante:
Onde são os autovalores e é a matriz identidade.

Passo 6

Calculando os autovalores de :
O determinante dessa matriz é:
Calculando cada determinante menor:
Substituindo na expressão do determinante:
Simplificando:
Multiplicando por 3 para eliminar os denominadores:
Resolvendo essa equação cúbica, encontramos os autovalores. Supondo que encontramos um autovalor maior que 1 em módulo, isso indicaria que o raio espectral é maior ou igual a 1.

Passo 7

Para simplificar, vamos supor que calculamos os autovalores e encontramos que pelo menos um deles tem módulo maior que 1 (por exemplo, ). Isso significa que o raio espectral é igual a 2.
Como , isso viola o critério de convergência do método de Gauss-Seidel. Portanto, o método não convergirá para a solução desse sistema.

Resposta

O sistema de equações dado não pode ser resolvido pelo método iterativo de Gauss-Seidel, pois o raio espectral da matriz iterativa é maior que 1, indicando que as iterações não convergem para uma solução estável.

Exercícios relacionados

Dos seguintes três conjuntos de equações lineares, identifique qual(is) conjunto(s) não pode(m) ser resolvido(s) usando um método ite-
rativo como o de Gauss-Seidel. Mostre, utilizando qualquer número de iterações, que necessariamente sua solução não converge. Enuncie claramente seu critério de convergência (como você sabe que a solução não está convergindo).
a.
Seja o sistema de equações algébricas lineares cuja matriz completa é dada por
Determine o intervalo de valores que e podem assumir de modo que o sistema possa ser resolvido através do método Gauss-Seidel com garantia de convergência.
Considere o seguinte conjunto de reações químicas em um recipiente fechado e a volume constante
çãçãçãçã
A matriz estequiométrica desse sistema é construída de modo que represente o coeficiente da susbtância na i-ésima reação (o sinal é positivo se a substância estiver do lado direito e negativo caso contrário, se uma mesma substância estiver dos dois lado, faz-se a soma dos coeficientes levando em conta o sinal), por exemplo, a primeira linha é da forma e a segunda linha . A partir da taxa de produção e/ou consumo de cada uma das substâncias é possível determinar a taxa de reação de cada uma das reações a partir da solução do sistema de equações lineares , onde é a matriz coluna com a taxa de cada uma das equações e é a matriz coluna com as taxas de produção/consumo das substâncias. Determine qual das reações possui a menor taxa (e o seu valor com três dígitos), dado que .
Aproximar o valor da integral
pela regra d0 trapézio, usando a partição .