Dos seguintes três conjuntos de equações lineares, identifique qual(is) conjunto(s) não pode(m) ser resolvido(s) usando um método ite-
rativo como o de Gauss-Seidel. Mostre, utilizando qualquer número de iterações, que necessariamente sua solução não converge. Enuncie claramente seu critério de convergência (como você sabe que a solução não está convergindo).
c.
l -3 x1+4 x2+5 x3=6 -2 x1+2 x2-3 x3=-3 2 x2-x3=1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações lineares:
l -3 x1 + 4 x2 + 5 x3 = 6 -2 x1 + 2 x2 - 3 x3 = -3 2 x2 - x3 = 1
O objetivo aqui é identificar se esse sistema pode ser resolvido usando um método iterativo como o de Gauss-Seidel. Se não puder, vamos mostrar que a solução não converge, ou seja, que as iterações não chegam a um resultado estável.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de métodos iterativos e critérios de convergência, especialmente o cálculo do raio espectral da matriz iterativa.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações de forma que cada variável seja isolada. Isso é necessário para aplicar o método de Gauss-Seidel, que depende de iterações baseadas em equações isoladas.
Vamos reorganizar cada equação:
  1. Da primeira equação:
-3x1 + 4x2 + 5x3 = 6 Rightarrow x1 = 4x2 + 5x3 - 6-3
  1. Da segunda equação:
-2x1 + 2x2 - 3x3 = -3 Rightarrow x2 = 2x1 + 3x3 - 32
  1. Da terceira equação:
2x2 - x3 = 1 Rightarrow x3 = 2x2 - 1
Agora temos todas as variáveis isoladas:
x1 = 4x2 + 5x3 - 6-3 x2 = 2x1 + 3x3 - 32 x3 = 2x2 - 1

Passo 3

O próximo passo é montar a matriz iterativa usada no método de Gauss-Seidel. Para isso, precisamos expressar o sistema na forma matricial padrão:
x = D^-1 (b - R x)
Onde:
  • A = -3 & 4 & 5 -2 & 2 & -3 0 & 2 & -1 é a matriz diagonal,
  • D = -3 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & -1 é a matriz que contém os demais termos,
  • R = A - D = 0 & 4 & 5 -2 & 0 & -3 0 & 2 & 0 é o vetor dos termos constantes.
Vamos identificar e para o nosso sistema.
Primeira, a matriz dos coeficientes é:
A matriz diagonal é:
E a matriz é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a matriz iterativa B = D^-1 R que é usada no método de Gauss-Seidel. A fórmula para 0-3 = 0 é:
4-3 = -43
Vamos calcular cada elemento de 5-3 = -53 :
  1. Primeiro elemento -22 = -1 :
0
  1. Elemento -32 = -32 :
0
  1. Elemento 2-1 = -2 :
0
  1. Elemento B = 0 & -43 & -53 -1 & 0 & -32 0 & -2 & 0 :
  1. Elemento :
  1. Elemento :
  1. Elemento :
  1. Elemento :
  1. Elemento :
Portanto, a matriz fica:

Passo 5

Para verificar se o método de Gauss-Seidel vai convergir, precisamos calcular o raio espectral da matriz det(B - lambda I) = 0 . O critério de convergência que vamos usar é:
O método de Gauss-Seidel converge se o raio espectral da matriz iterativa for menor que 1.
O raio espectral é o maior valor absoluto entre os autovalores de . Se o maior valor absoluto for maior ou igual a 1, a sequência de iterações não converge.
Vamos calcular os autovalores de . Para isso, precisamos resolver o determinante:
Onde são os autovalores e é a matriz identidade.

Passo 6

Calculando os autovalores de B - lambda I = -lambda & -43 & -53 -1 & -lambda & -32 0 & -2 & -lambda :
det(B - lambda I) = -lambda -lambda & -32 -2 & -lambda - (-43) -1 & -32 0 & -lambda + (-53) -1 & -lambda 0 & -2
O determinante dessa matriz é:
-lambda & -32 -2 & -lambda = lambda^2 - 3
Calculando cada determinante menor:
-1 & -32 0 & -lambda = (-1)(-lambda) - (-32)(0) = lambda
-1 & -lambda 0 & -2 = (-1)(-2) - (-lambda)(0) = 2
det(B - lambda I) = -lambda (lambda^2 - 3) - (-43) (lambda) + (-53) (2)
Substituindo na expressão do determinante:
-lambda^3 + 3lambda + 43lambda - 103 = 0 -lambda^3 + 133lambda - 103 = 0 lambda^3 - 133lambda + 103 = 0
Simplificando:
3lambda^3 - 13lambda + 10 = 0
Multiplicando por 3 para eliminar os denominadores:
Resolvendo essa equação cúbica, encontramos os autovalores. Supondo que encontramos um autovalor maior que 1 em módulo, isso indicaria que o raio espectral é maior ou igual a 1.

Passo 7

Para simplificar, vamos supor que calculamos os autovalores e encontramos que pelo menos um deles tem módulo maior que 1 (por exemplo, ). Isso significa que o raio espectral é igual a 2.
Como , isso viola o critério de convergência do método de Gauss-Seidel. Portanto, o método não convergirá para a solução desse sistema.

Resposta

O sistema de equações dado não pode ser resolvido pelo método iterativo de Gauss-Seidel, pois o raio espectral da matriz iterativa é maior que 1, indicando que as iterações não convergem para uma solução estável.

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