Dos seguintes três conjuntos de equações lineares, identifique qual(is) conjunto(s) não pode(m) ser resolvido(s) usando um método ite-
rativo como o de Gauss-Seidel. Mostre, utilizando qualquer número de iterações, que necessariamente sua solução não converge. Enuncie claramente seu critério de convergência (como você sabe que a solução não está convergindo).
c.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações lineares:
O objetivo aqui é identificar se esse sistema pode ser resolvido usando um método iterativo como o de Gauss-Seidel. Se não puder, vamos mostrar que a solução não converge, ou seja, que as iterações não chegam a um resultado estável.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de métodos iterativos e critérios de convergência, especialmente o cálculo do raio espectral da matriz iterativa.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações de forma que cada variável seja isolada. Isso é necessário para aplicar o método de Gauss-Seidel, que depende de iterações baseadas em equações isoladas.
Vamos reorganizar cada equação:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Da terceira equação:
Agora temos todas as variáveis isoladas:
Passo 3
O próximo passo é montar a matriz iterativa usada no método de Gauss-Seidel. Para isso, precisamos expressar o sistema na forma matricial padrão:
Onde:
é a matriz diagonal,
é a matriz que contém os demais termos,
é o vetor dos termos constantes.
Vamos identificar e para o nosso sistema.
Primeira, a matriz dos coeficientes é:
A matriz diagonal é:
E a matriz é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a matriz iterativa que é usada no método de Gauss-Seidel. A fórmula para é:
Vamos calcular cada elemento de :
Primeiro elemento :
Elemento :
Elemento :
Elemento :
Elemento :
Elemento :
Elemento :
Elemento :
Elemento :
Portanto, a matriz fica:
Passo 5
Para verificar se o método de Gauss-Seidel vai convergir, precisamos calcular o raio espectral da matriz . O critério de convergência que vamos usar é:
O método de Gauss-Seidel converge se o raio espectral da matriz iterativa for menor que 1.
O raio espectral é o maior valor absoluto entre os autovalores de . Se o maior valor absoluto for maior ou igual a 1, a sequência de iterações não converge.
Vamos calcular os autovalores de . Para isso, precisamos resolver o determinante:
Onde são os autovalores e é a matriz identidade.
Passo 6
Calculando os autovalores de :
O determinante dessa matriz é:
Calculando cada determinante menor:
Substituindo na expressão do determinante:
Simplificando:
Multiplicando por 3 para eliminar os denominadores:
Resolvendo essa equação cúbica, encontramos os autovalores. Supondo que encontramos um autovalor maior que 1 em módulo, isso indicaria que o raio espectral é maior ou igual a 1.
Passo 7
Para simplificar, vamos supor que calculamos os autovalores e encontramos que pelo menos um deles tem módulo maior que 1 (por exemplo, ). Isso significa que o raio espectral é igual a 2.
Como , isso viola o critério de convergência do método de Gauss-Seidel. Portanto, o método não convergirá para a solução desse sistema.
Resposta
O sistema de equações dado não pode ser resolvido pelo método iterativo de Gauss-Seidel, pois o raio espectral da matriz iterativa é maior que 1, indicando que as iterações não convergem para uma solução estável.