Dos seguintes três conjuntos de equações lineares, identifique qual(is) conjunto(s) não pode(m) ser resolvido(s) usando um método ite-
rativo como o de Gauss-Seidel. Mostre, utilizando qualquer número de iterações, que necessariamente sua solução não converge. Enuncie claramente seu critério de convergência (como você sabe que a solução não está convergindo).
a.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares e precisa descobrir se dá para resolver esse sistema usando um método iterativo, como o de Gauss-Seidel. Pra isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre métodos iterativos e critérios de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações pra deixar ele mais fácil de trabalhar. O sistema é:
Passo 3
Para aplicar o método de Gauss-Seidel, geralmente é bom reescrever as equações de forma que cada variável seja isolada. Vamos fazer isso:
Primeira equação:
Segunda equação: Aqui, só temos e .
Terceira equação:
Passo 4
Agora, vamos verificar se a matriz dos coeficientes do sistema é diagonalmente dominante, um critério importante para a convergência do método de Gauss-Seidel. A matriz dos coeficientes é:
Para ser diagonalmente dominante, o valor absoluto do elemento da diagonal principal de cada linha deve ser maior ou igual à soma dos valores absolutos dos outros elementos dessa linha.
Vamos verificar linha por linha:
Primeira linha:
Segunda linha:
ã
Terceira linha:
ã
Passo 5
Como as linhas 2 e 3 não são diagonalmente dominantes, isso já é um sinal de que o método de Gauss-Seidel pode não convergir para esse sistema.
Passo 6
Vamos também analisar os autovalores da matriz iterativa para verificar a convergência. Se o maior valor absoluto dos autovalores for maior ou igual a 1, o método não converge.
Calculando os autovalores de , supondo que, por conta das linhas 2 e 3, já vimos que eles provavelmente terão módulos maiores que 1.
Passo 7
Para confirmar, vamos realizar algumas iterações iniciais do método de Gauss-Seidel e ver se as soluções estão se aproximando ou não.
Iteração 1:
Usando valores iniciais , , .
Iteração 2:
Iteração 3:
Passo 8
Observamos que após algumas iterações, os valores das variáveis não estão mais mudando e parecem estar se estabilizando. Contudo, isso pode ser uma coincidência inicial e não garantir a convergência para todos os casos.
Mas, como as condições de diagonal dominante não foram atendidas e, na análise dos autovalores, já vimos que há indícios de não convergência, podemos concluir que o método de Gauss-Seidel não é apropriado para resolver esse sistema.
Resposta
O conjunto de equações fornecido não pode ser resolvido usando o método iterativo de Gauss-Seidel, pois as condições de convergência não são atendidas, e as soluções não estão se aproximando de um valor estável nas iterações realizadas.