Considere a seguinte Equação Diferencial Ordinária de primeira ordem:
d yd x=(x+y) x^2 y^2, y(0)=1
Considerando o intervalo [0; 2], encontre a solução numérica dessa equação usando: O método de Runge-Kutta de segunda ordem com h=0,5;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou é sobre Equações Diferenciais Ordinárias de primeira ordem. A gente precisa encontrar uma solução numérica para a equação
d yd x = (x + y) x^2 y^2, y(0) = 1
no intervalo de 0 a 2 usando o método de Runge-Kutta de segunda ordem com passo . Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o método de Runge-Kutta de segunda ordem e aplicá-lo passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar rapidinho o que é o método de Runge-Kutta de segunda ordem (RK2). É um método numérico para resolver equações diferenciais que nos dá uma boa aproximação da solução sem precisar resolver a equação de forma exata. Ele usa duas estimativas (k1 e k2) para calcular o próximo valor de yn+1 = yn + h2 (k1 + k2) .
A fórmula geral do RK2 é:
k1 = f(xn, yn)
onde:
k2 = f(xn + h, yn + h cdot k1)
Aqui, é a função que está na equação diferencial, que no nosso caso é .

Passo 3

Vamos começar a aplicar o RK2. Nosso passo k1 = f(0, 1) = (0 + 1) cdot 0^2 cdot 1^2 = 0 é 0,5, e o intervalo vai de 0 a 2, então teremos 4 passos: de 0 a 0,5; de 0,5 a 1; de 1 a 1,5; e de 1,5 a 2.
Passo 1: De k2 = f(0 + 0,5, 1 + 0,5 cdot 0) = f(0,5, 1) = (0,5 + 1) cdot 0,5^2 cdot 1^2 = 1,5 cdot 0,25 cdot 1 = 0,375 a y1 = 1 + 0,52 (0 + 0,375) = 1 + 0,25 cdot 0,375 = 1 + 0,09375 = 1,09375
  • Inicialmente, .
  • Calculamos :
  • Calculamos :
  • Atualizamos :

Passo 4

Passo 2: De k1 = f(0,5, 1,09375) = (0,5 + 1,09375) cdot 0,5^2 cdot (1,09375)^2 = 1,59375 cdot 0,25 cdot 1,1962890625 approx 0,3564453125 a k2 = f(0,5 + 0,5, 1,09375 + 0,5 cdot 0,3564453125) = f(1,0, 1,09375 + 0,17822265625) = f(1,0, 1,27197265625)
  • Agora, f(1,0, 1,27197265625) = (1,0 + 1,27197265625) cdot 1^2 cdot (1,27197265625)^2 = 2,27197265625 cdot 1 cdot 1,6190185546875 approx 3,67840576171875 .
  • Calculamos y2 = 1,09375 + 0,52 (0,3564453125 + 3,67840576171875) = 1,09375 + 0,25 cdot 4,03485107421875 approx 1,09375 + 1,0087127685546875 = 2,1024627685546875 :
  • Calculamos :
  • Atualizamos :

Passo 5

Passo 3: De k1 = f(1,0, 2,1024627685546875) = (1,0 + 2,1024627685546875) cdot 1^2 cdot (2,1024627685546875)^2 = 3,102462768554688 cdot 1 cdot 4,420232176303864 approx 13,70950208568573 a k2 = f(1,0 + 0,5, 2,1024627685546875 + 0,5 cdot 13,70950208568573) = f(1,5, 2,1024627685546875 + 6,854751042842865) = f(1,5, 8,957213811397553)
  • Agora, f(1,5, 8,957213811397553) = (1,5 + 8,957213811397553) cdot 1,5^2 cdot (8,957213811397553)^2 .
  • Calculamos = 10,457213811397553 cdot 2,25 cdot 80,2372755422838 approx 10,457213811397553 cdot 2,25 cdot 80,2372755422838 approx 10,4572 times 2,25 times 80,2373 approx 10,4572 times 180,5349 approx 1.888,736 : y3 = 2,1024627685546875 + 0,52 (13,70950208568573 + 1.888,736) approx 2,1024627685546875 + 0,25 cdot 1.902,4455020856857 approx 2,1024627685546875 + 475,6113755214214 approx 477,7138382909761
  • Calculamos :
  • Atualizamos ( y_3 \ ):

Passo 6

Passo 4: De k1 = f(1,5, 477,7138382909761) = (1,5 + 477,7138382909761) cdot 1,5^2 cdot (477,7138382909761)^2 a
  • Agora, .
  • Calculamos : Esse valor será extremamente grande, e na prática, com métodos numéricos, a solução tende a divergir nesse ponto devido ao crescimento rápido da função.

Resposta

Após aplicar o método de Runge-Kutta de segunda ordem com passo no intervalo [0; 2], os valores aproximados da solução são:
  • tende a divergir devido ao rápido crescimento da solução.

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