Considere a seguinte Equação Diferencial Ordinária de primeira ordem:
Considerando o intervalo [0; 2], encontre a solução numérica dessa equação usando: O método de Runge-Kutta de segunda ordem com ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou é sobre Equações Diferenciais Ordinárias de primeira ordem. A gente precisa encontrar uma solução numérica para a equação
no intervalo de 0 a 2 usando o método de Runge-Kutta de segunda ordem com passo . Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o método de Runge-Kutta de segunda ordem e aplicá-lo passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar rapidinho o que é o método de Runge-Kutta de segunda ordem (RK2). É um método numérico para resolver equações diferenciais que nos dá uma boa aproximação da solução sem precisar resolver a equação de forma exata. Ele usa duas estimativas (k1 e k2) para calcular o próximo valor de .
A fórmula geral do RK2 é:
onde:
Aqui, é a função que está na equação diferencial, que no nosso caso é .
Passo 3
Vamos começar a aplicar o RK2. Nosso passo é 0,5, e o intervalo vai de 0 a 2, então teremos 4 passos: de 0 a 0,5; de 0,5 a 1; de 1 a 1,5; e de 1,5 a 2.
Passo 1: De a
Inicialmente, .
Calculamos :
Calculamos :
Atualizamos :
Passo 4
Passo 2: De a
Agora, .
Calculamos :
Calculamos :
Atualizamos :
Passo 5
Passo 3: De a
Agora, .
Calculamos :
Calculamos :
Atualizamos ( y_3 \ ):
Passo 6
Passo 4: De a
Agora, .
Calculamos :Esse valor será extremamente grande, e na prática, com métodos numéricos, a solução tende a divergir nesse ponto devido ao crescimento rápido da função.
Resposta
Após aplicar o método de Runge-Kutta de segunda ordem com passo no intervalo [0; 2], os valores aproximados da solução são:
tende a divergir devido ao rápido crescimento da solução.