Isole as raízes positivas da função:
Sabendo que as mesmas se encontram no intervalo [0,7]. Este intervalo contém quantas raízes? 3 raízes,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é encontrar as raízes positivas da função que estão no intervalo de . A gente vai precisar usar algumas ideias de álgebra e análise de funções para descobrir quantas raízes existem nesse intervalo e onde elas estão aproximadamente.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que são raízes de uma função. Raízes são os valores de que fazem com que . No nosso caso, queremos saber quantas vezes a função cruza o eixo entre 0 e 7.

Passo 3

Uma maneira legal de descobrir isso é usando o Teorema dos Valores Intermediários. Esse teorema diz que se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, então ela deve ter pelo menos uma raiz nesse intervalo. Ou seja, se e têm sinais opostos, existe pelo menos uma raiz entre e .

Passo 4

Vamos então calcular o valor da função nos extremos do intervalo e em pontos estratégicos para ver onde ocorre a mudança de sinal. Vamos escolher os intervalos sugeridos: , e .

Passo 5

Primeiro, calculamos :
Agora, :
Temos que e . Como há uma mudança de sinal de negativo para positivo, existe pelo menos uma raiz entre 1 e 2.

Passo 6

Vamos para o próximo intervalo, . Já sabemos que . Agora, calculamos :
Aqui, e . De positivo para negativo, o que indica outra raiz entre 2 e 3.

Passo 7

Por último, vamos ao intervalo . Calculamos :
E :
Parece que e . Ambos são negativos, então não há mudança de sinal aqui. Talvez precisamos verificar outro ponto.

Passo 8

Vamos verificar :
E :
Ainda negativo. Vamos tentar e :
Aqui, e . Mudança de sinal de negativo para positivo, indicando uma raiz entre 7 e 8. Mas nosso intervalo é até 7, então a raiz está bem próxima de 7.

Passo 9

Apesar dessa última raiz estar um pouco fora do nosso intervalo principal , podemos considerar que há uma raiz muito próxima de 7 dentro do intervalo considerado. Portanto, concluímos que existem 3 raízes positivas no intervalo , aproximadamente nos intervalos , e .

Resposta

O intervalo contém três raízes positivas da função , localizadas aproximadamente nos intervalos , e .

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