Considere a seguinte Equação Diferencial Ordinária de primeira ordem:
d yd x=x+2 y2 x+y y(0)=1
Considerando o intervalo [0; 2], encontre a solução numérica dessa equação usando: O método de Runge-Kutta de segunda ordem com h=0,5;

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial ordinária de primeira ordem dada:
dydx = x + 2y2x + y y(0) = 1
Usaremos o método de Runge-Kutta de segunda ordem com um passo no intervalo de de 0 a 2. Esse método é uma técnica numérica para aproximar soluções de equações diferenciais, especialmente útil quando não conseguimos resolver a equação de forma exata.

Passo 2

Primeiro, identificamos os pontos onde vamos calcular a solução. Com , teremos os seguintes pontos: , , , e .

Passo 3

Vamos começar com o ponto inicial k1 = h cdot f(xn, yn) . Precisamos calcular k2 = h cdot f(xn + h, yn + k1) para os próximos pontos usando a fórmula do método de Runge-Kutta de segunda ordem:
yn+1 = yn + k1 + k22
Onde .

Passo 4

Calculando para k1 = 0,5 cdot 0 + 2 cdot 12 cdot 0 + 1 = 0,5 cdot 21 = 1 , k2 = 0,5 cdot 0 + 0,5 + 2 cdot (1 + 1)2 cdot (0 + 0,5) + (1 + 1) = 0,5 cdot 0,5 + 41 + 2 = 0,5 cdot 4,53 = 0,75 :
  1. Calculamos y1 = 1 + 1 + 0,752 = 1 + 0,875 = 1,875 :
  1. Calculamos :
  1. Atualizamos :

Passo 5

Calculando para k1 = 0,5 cdot 0,5 + 2 cdot 1,8752 cdot 0,5 + 1,875 = 0,5 cdot 0,5 + 3,751 + 1,875 = 0,5 cdot 4,252,875 approx 0,5 cdot 1,478 = 0,739 , k2 = 0,5 cdot 0,5 + 0,5 + 2 cdot (1,875 + 0,739)2 cdot (0,5 + 0,5) + (1,875 + 0,739) = 0,5 cdot 1 + 2 cdot 2,6142 + 2,614 = 0,5 cdot 1 + 5,2284,614 approx 0,5 cdot 6,2284,614 approx 0,5 cdot 1,35 = 0,675 :
  1. Calculamos y2 = 1,875 + 0,739 + 0,6752 = 1,875 + 0,707 = 2,582 :
  1. Calculamos :
  1. Atualizamos :

Passo 6

Calculando para k1 = 0,5 cdot 1 + 2 cdot 2,5822 cdot 1 + 2,582 = 0,5 cdot 1 + 5,1642 + 2,582 = 0,5 cdot 6,1644,582 approx 0,5 cdot 1,344 = 0,672 , k2 = 0,5 cdot 1 + 0,5 + 2 cdot (2,582 + 0,672)2 cdot (1 + 0,5) + (2,582 + 0,672) = 0,5 cdot 1,5 + 2 cdot 3,2543 + 3,254 = 0,5 cdot 1,5 + 6,5086,254 approx 0,5 cdot 8,0086,254 approx 0,5 cdot 1,281 = 0,640 :
  1. Calculamos y3 = 2,582 + 0,672 + 0,6402 = 2,582 + 0,656 = 3,238 :
  1. Calculamos :
  1. Atualizamos :

Passo 7

Calculando para k1 = 0,5 cdot 1,5 + 2 cdot 3,2382 cdot 1,5 + 3,238 = 0,5 cdot 1,5 + 6,4763 + 3,238 = 0,5 cdot 7,9766,238 approx 0,5 cdot 1,280 = 0,640 , k2 = 0,5 cdot 1,5 + 0,5 + 2 cdot (3,238 + 0,640)2 cdot (1,5 + 0,5) + (3,238 + 0,640) = 0,5 cdot 2 + 2 cdot 3,8784 + 3,878 = 0,5 cdot 2 + 7,7567,878 approx 0,5 cdot 9,7567,878 approx 0,5 cdot 1,238 = 0,619 :
  1. Calculamos y4 = 3,238 + 0,640 + 0,6192 = 3,238 + 0,629 = 3,867 :
  1. Calculamos :
  1. Atualizamos :

Resposta

A solução numérica da equação diferencial no ponto é aproximadamente .

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