Encontre a decomposição A=L U das seguintes matrizes:
A=(lll5 & 2 & 1 3 & 1 & 4 1 & 1 & 3) underset c) A=(ccc2 & 1 & 0 1 & 6 & 4 0 & 4 & 11)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de decomposição A = 2 & 1 & 0 1 & 6 & 4 0 & 4 & 11 para a matriz dada:
A decomposição significa que vamos escrever a matriz como o produto de uma matriz triangular inferior e uma matriz triangular superior . Para isso, vamos seguir um passo a passo bem tranquilo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as matrizes L = 1 & 0 & 0 l21 & 1 & 0 l31 & l32 & 1 , U = u11 & u12 & u13 0 & u22 & u23 0 & 0 & u33 e . A matriz será uma matriz triangular inferior com 1’s na diagonal principal, e a matriz será uma matriz triangular superior. Então, temos:
Nosso objetivo é encontrar os valores de e que satisfaçam .

Passo 3

Vamos começar encontrando os elementos da primeira linha de A11 = L11 cdot U11 Rightarrow 2 = 1 cdot u11 Rightarrow u11 = 2 . Sabemos que:
A12 = L11 cdot U12 Rightarrow 1 = 1 cdot u12 Rightarrow u12 = 1
A13 = L11 cdot U13 Rightarrow 0 = 1 cdot u13 Rightarrow u13 = 0
U = 2 & 1 & 0 0 & u22 & u23 0 & 0 & u33
Então, até agora temos:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o elemento A21 = L21 cdot U11 Rightarrow 1 = l21 cdot 2 Rightarrow l21 = 12 da matriz L = 1 & 0 & 0 12 & 1 & 0 l31 & l32 & 1 . Usamos a relação:
Então, a matriz fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular o elemento A22 = L21 cdot U12 + L22 cdot U22 Rightarrow 6 = 12 cdot 1 + 1 cdot u22 Rightarrow 6 = 12 + u22 Rightarrow u22 = 112 . Usamos a relação:
A23 = L21 cdot U13 + L22 cdot U23 Rightarrow 4 = 12 cdot 0 + 1 cdot u23 Rightarrow u23 = 4
Em seguida, encontramos U = 2 & 1 & 0 0 & 112 & 4 0 & 0 & u33 :
Agora, está assim:

Passo 6

Em seguida, vamos encontrar A31 = L31 cdot U11 Rightarrow 0 = l31 cdot 2 Rightarrow l31 = 0 . Usamos:
L = 1 & 0 & 0 12 & 1 & 0 0 & l32 & 1
Agora, a matriz fica:

Passo 7

Por último, vamos calcular A32 = L31 cdot U12 + L32 cdot U22 Rightarrow 4 = 0 cdot 1 + l32 cdot 112 Rightarrow l32 = 811 e A33 = L31 cdot U13 + L32 cdot U23 + L33 cdot U33 Rightarrow 11 = 0 cdot 0 + 811 cdot 4 + 1 cdot u33 Rightarrow 11 = 3211 + u33 Rightarrow u33 = 11 - 3211 = 8111 . Usamos:
E para :

Resposta

A decomposição L = 1 & 0 & 0 12 & 1 & 0 0 & 811 & 1 , U = 2 & 1 & 0 0 & 112 & 4 0 & 0 & 8111 da matriz dada é:

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