Use o método da bisseção para encontrar o zero da função f(x)=e^-x^2-cos x, onde xi in(1,2) e varepsilon=10^-3.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o zero da função usando o método da bisseção. Esse método faz parte da matéria de análise numérica e será útil para encontrar raízes de funções contínuas em um intervalo específico. Precisamos começar com um intervalo e uma precisão de .

Passo 2

Primeiro, identificamos os extremos do intervalo: f(a) = e^-1^2 - cos(1) approx 0.3679 - 0.5403 = -0.1724 e f(b) = e^-2^2 - cos(2) approx 0.0183 - (-0.4161) = 0.4344 . Calculamos os valores da função nesses pontos para garantir que existe uma raiz entre eles.
Como e têm sinais opostos, pelo Teorema de Bolzano, sabemos que existe pelo menos uma raiz no intervalo .

Passo 3

Aplicamos o método da bisseção:
  1. Calculamos o ponto médio f(1.5) = e^-(1.5)^2 - cos(1.5) approx 0.0111 - 0.0707 = -0.0596 .
  2. Avaliamos a função nesse ponto:
  1. Como é negativo, substituímos por porque a raiz está no intervalo .

Passo 4

Repetimos o processo com o novo intervalo f(1.75) = e^-(1.75)^2 - cos(1.75) approx 0.0032 - (-0.1788) = 0.1820 :
  1. Calculamos o novo ponto médio .
  2. Avaliamos a função nesse ponto:
  1. Como é positivo, substituímos por porque a raiz está no intervalo .

Passo 5

Continuamos com o intervalo f(1.625) = e^-(1.625)^2 - cos(1.625) approx 0.0021 - (-0.0602) = 0.0623 :
  1. Calculamos o ponto médio .
  2. Avaliamos a função nesse ponto:
  1. Como é positivo, substituímos por porque a raiz está no intervalo .

Passo 6

Agora, trabalhamos com o intervalo f(1.5625) = e^-(1.5625)^2 - cos(1.5625) approx 0.0019 - (-0.0008) = 0.0027 :
  1. Calculamos o ponto médio .
  2. Avaliamos a função nesse ponto:
  1. Como é positivo, substituímos por porque a raiz está no intervalo .

Passo 7

Continuamos com o intervalo f(1.53125) = e^-(1.53125)^2 - cos(1.53125) approx 0.0022 - (0.0314) = -0.0292 :
  1. Calculamos o ponto médio .
  2. Avaliamos a função nesse ponto:
  1. Como é negativo, substituímos por porque a raiz está no intervalo .

Passo 8

Repetimos o processo para o intervalo f(1.546875) = e^-(1.546875)^2 - cos(1.546875) approx 0.0019 - (0.0221) = -0.0202 :
  1. Calculamos o ponto médio .
  2. Avaliamos a função nesse ponto:
  1. Como é negativo, substituímos por porque a raiz está no intervalo .

Passo 9

Continuamos com o intervalo f(1.5546875) = e^-(1.5546875)^2 - cos(1.5546875) approx 0.0018 - (0.0006) = 0.0012 :
  1. Calculamos o ponto médio .
  2. Avaliamos a função nesse ponto:
  1. Como é positivo e a precisão desejada é , verificamos que a largura do intervalo é menor que .

Resposta

O zero da função no intervalo aproximado pelo método da bisseção com precisão é .

Exercícios relacionados