Do último problema
sump fp=L2 pi hbar integral f(p) d p
onde a função f(p) é uma função da variável contínua p assim como fp é função da variável discreta p que somente assume valores quantizados.
Mostre que
|Ap|^2=4 alpha^3L(1alpha^2+p^2 / hbar^2) soma à unidade no limite de L grande.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma soma sobre os valores discretizados de e nos pede para mostrar que soma a unidade quando é grande. Aqui, estamos trabalhando com conceitos de quantização e normalização em física, usando somas e integrais. Para resolver isso, vamos precisar transformar a soma em uma integral no limite de grande e calcular o valor final.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a soma sump |Ap|^2 = sump 4 alpha^3L (1alpha^2 + p^2hbar^2) usando a expressão dada para :
Aqui, é uma constante e é a constante de Planck reduzida.

Passo 3

No limite em que sump fp = L2 pi hbar integral f(p) , dp é grande, a soma discreta sobre sump |Ap|^2 = 4 alpha^3L cdot L2 pi hbar integral 1alpha^2 + p^2hbar^2 , dp pode ser aproximada por uma integral contínua. Usando a relação fornecida:
sump |Ap|^2 = 4 alpha^32 pi hbar integral 1alpha^2 + p^2hbar^2 , dp
Portanto, nossa soma fica:
O cancela, simplificando para:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral:
integral 1alpha^2 + p^2hbar^2 , dp
Fazendo a substituição integral 1alpha^2 + u^2 cdot hbar , du = hbar integral 1alpha^2 + u^2 , du , então integral 1alpha^2 + u^2 , du = pi2alpha , temos:
integral 1alpha^2 + p^2hbar^2 , dp = hbar cdot pi2alpha = pi hbar2alpha
Sabemos que:
Portanto:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da soma:
sump |Ap|^2 = 4 alpha^32 pi hbar cdot pi hbar2alpha = 4 alpha^32 pi hbar cdot pi hbar2alpha
Simplificando os termos:
= 4 alpha^3 cdot pi hbar2 pi hbar cdot 2 alpha = 4 alpha^24 = alpha^2

Resposta

Para que , devemos ter . Portanto, sob a condição de que , a soma de realmente soma a unidade no limite de grande.

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