Do último problema
onde a função
é uma função da variável contínua
assim como
é função da variável discreta
que somente assume valores quantizados.
Mostre que
soma à unidade no limite de
grande.
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma soma sobre os valores discretizados de
e nos pede para mostrar que
soma a unidade quando
é grande. Aqui, estamos trabalhando com conceitos de quantização e normalização em física, usando somas e integrais. Para resolver isso, vamos precisar transformar a soma em uma integral no limite de
grande e calcular o valor final.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a soma
usando a expressão dada para
:
Aqui,
é uma constante e
é a constante de Planck reduzida.
Passo 3
No limite em que
é grande, a soma discreta sobre
pode ser aproximada por uma integral contínua. Usando a relação fornecida:
Portanto, nossa soma fica:
O
cancela, simplificando para:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral:
Fazendo a substituição
, então
, temos:
Sabemos que:
Portanto:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão da soma:
Simplificando os termos:
Resposta
Para que
, devemos ter
. Portanto, sob a condição de que
, a soma de
realmente soma a unidade no limite de
grande.