Considere a seguinte integral
integral-1^4 x^2 e^-2 x d x
e determine o número de divisões necessárias para e obter uma aproximação com 5 casas decimais de precisão utilizando a Regra 3/8 de Simpson Repetida.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando a Regra 3/8 de Simpson Repetida! Basicamente, queremos calcular a integral definida de de a e determinar quantas divisões necessárias para que nossa aproximação tenha 5 casas decimais de precisão. Para isso, vamos precisar entender como funciona a Regra 3/8 de Simpson e como estimar o erro para garantir a precisão desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra 3/8 de Simpson. Ela é uma técnica de integração numérica que aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo de integração em subintervalos e ajustando um polinômio cúbico em cada grupo de três subintervalos. Ela é especialmente útil quando queremos uma boa precisão sem usar muitos pontos.
A fórmula da Regra 3/8 de Simpson Repetida para integrala^b f(x) dx approx 3h8 [ f(x0) + 3 sumi=1^n/3 (f(x3i-2) + f(x3i-1)) ) + 2 sumi=1^n/3 -1 f(x3i) + f(xn) ] subintervalos (onde deve ser múltiplo de 3) é:
onde é o tamanho de cada subintervalo.

Passo 3

Agora, para garantir que nossa aproximação tenha uma precis��o de 5 casas decimais, precisamos estimar o erro da Regra 3/8 de Simpson. A fórmula do erro para essa regra é:
E <= K (b - a) h^480
onde:
  • é o erro máximo,
  • é um valor que representa o máximo da quarta derivada de no intervalo ,
  • é o tamanho do subintervalo.
Queremos que (5 casas decimais).

Passo 4

Vamos calcular a quarta derivada da função f'(x) = 2x e^-2x - 2x^2 e^-2x = 2x e^-2x (1 - x) . Primeiro, derivamos passo a passo:
  1. Primeira derivada:
    f''(x) = 2 e^-2x (1 - x) - 2x e^-2x (1 - x) - 2x e^-2x = 2 e^-2x (1 - x) - 4x e^-2x
  2. Segunda derivada:
    f'''(x) = -4 e^-2x (1 - x) + 8x e^-2x - 4 e^-2x = -4 e^-2x (2 - x)
  3. Terceira derivada:
    f^(4)(x) = 8 e^-2x (2 - x) - 4 e^-2x (-1) = 8 e^-2x (2 - x) + 4 e^-2x = e^-2x (20 - 8x)
  4. Quarta derivada:
Agora, encontramos . Queremos o valor máximo dessa expressão no intervalo .

Passo 5

Vamos determinar o valor máximo de no intervalo . Observando a expressão :
  • é sempre positivo.
  • varia de em a em .
O valor máximo ocorre onde é máximo. Isso acontece em , onde .
Portanto, (já que ).

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores na fórmula do erro:
E <= K (b - a) h^480 <= 0.000005
Substituindo 28 e^2 times 5 times h^480 <= 0.000005 , 140 e^2 h^480 <= 0.000005 7 e^2 h^44 <= 0.000005 h^4 <= 4 times 0.0000057 e^2 h^4 <= 0.000027 e^2 (de h^4 <= 0.000027 times 7.389056 h^4 <= 0.0000251.723392 h^4 <= 3.867 times 10^-7 a h <= raiz[4]3.867 times 10^-7 h <= 0.018 ), e queremos que :
Simplificando:
Calculando :
Agora, extraímos a raiz quarta para encontrar :

Passo 7

Sabendo que 0.018 >= 5n n >= 50.018 n >= 277.78 , temos:
n = 279
Como deve ser múltiplo de 3 na Regra 3/8 de Simpson, arredondamos para o próximo múltiplo de 3:

Resposta

Para obter uma aproximação com 5 casas decimais de precisão usando a Regra 3/8 de Simpson Repetida, são necessárias 279 divisões.

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