Considere a seguinte integral
e determine o número de divisões necessárias para e obter uma aproximação com 5 casas decimais de precisão utilizando a Regra 3/8 de Simpson Repetida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral usando a Regra 3/8 de Simpson Repetida! Basicamente, queremos calcular a integral definida de
de
a
e determinar quantas divisões necessárias para que nossa aproximação tenha 5 casas decimais de precisão. Para isso, vamos precisar entender como funciona a Regra 3/8 de Simpson e como estimar o erro para garantir a precisão desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra 3/8 de Simpson. Ela é uma técnica de integração numérica que aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo de integração em subintervalos e ajustando um polinômio cúbico em cada grupo de três subintervalos. Ela é especialmente útil quando queremos uma boa precisão sem usar muitos pontos.
A fórmula da Regra 3/8 de Simpson Repetida para
subintervalos (onde
deve ser múltiplo de 3) é:
onde
é o tamanho de cada subintervalo.
Passo 3
Agora, para garantir que nossa aproximação tenha uma precis��o de 5 casas decimais, precisamos estimar o erro da Regra 3/8 de Simpson. A fórmula do erro para essa regra é:
onde:
-
é o erro máximo, -
é um valor que representa o máximo da quarta derivada de no intervalo , -
é o tamanho do subintervalo.
Queremos que
(5 casas decimais).
Passo 4
Vamos calcular a quarta derivada da função
. Primeiro, derivamos passo a passo:
-
Primeira derivada:
-
Segunda derivada:
-
Terceira derivada:
-
Quarta derivada:
Agora, encontramos
. Queremos o valor máximo dessa expressão no intervalo
.
Passo 5
Vamos determinar o valor máximo de
no intervalo
. Observando a expressão
:
-
é sempre positivo. -
varia de em a em .
O valor máximo ocorre onde
é máximo. Isso acontece em
, onde
.
Portanto,
(já que
).
Passo 6
Agora, vamos substituir os valores na fórmula do erro:
Substituindo
,
(de
a
), e queremos que
:
Simplificando:
Calculando
:
Agora, extraímos a raiz quarta para encontrar
:
Passo 7
Sabendo que
, temos:
Como
deve ser múltiplo de 3 na Regra 3/8 de Simpson, arredondamos para o próximo múltiplo de 3:
Resposta
Para obter uma aproximação com 5 casas decimais de precisão usando a Regra 3/8 de Simpson Repetida, são necessárias 279 divisões.
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Entre a Regra
de Simpson Repetida e a Regra 3/8 de Simpson Repetida, qual é mais precisa ? Justifique sua resposta.
Classifique cada uma das equações diferenciais ( linear; não-linear; coeficientes constantes ou variáveis; ordem; grau; homogênea ou não homogênea);
Classifique cada uma das equações diferenciais ( linear; não-linear; coeficientes constantes ou variáveis; ordem; grau; homogênea ou não homogênea);
Seja
uma função definida no intervalo
. Se
for um polinômio de grau 3, qual será o erro que ocorrerá se integrarmos essa função via Regra
de Simpson Repetida? Justifique sua resposta.